专题3.2 导数与函数的单调性（原卷版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 3.2 导数与函数的单调性

一、题型全归纳....................................................................................................................................................... 1

题型一不含参数函数的单调性...................................................................................................................... 1

题型二含参数函数的单调性.......................................................................................................................... 2

题型三函数单调性的应用.............................................................................................................................. 4

命题角度一　构造函数、比较大小或解不等式..................................................................................... 4

命题角度二　已知函数单调性求参数的取值范围................................................................................. 5

题型四分类讨论思想研究函数的单调性...................................................................................................... 6

二、高效训练突破................................................................................................................................................... 7

一、题型全归纳

题型一不含参数函数的单调性

【题型要点】求函数单调区间的步骤

(1)确定函数 f(x)的定义域．

(2)求f′(x)．

(3)在定义域内解不等式 f′(x)>0，得单调递增区间．

(4)在定义域内解不等式 f′(x)<0，得单调递减区间．

【易错提醒】求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．

【例 1】函数 y＝4x2＋的单调递增区间为(　　)

A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．

(

2,+∞

)

C．(－∞，－1) D．

(

−∞,1

)

【例 2】已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间是________．

题型二含参数函数的单调性

【题型要点】解决含参数函数的单调性问题应注意的 2点

(1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和函数的间断点．　

【例 1】已知函数 f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)，讨论函数 y＝f(x)的单调区间．

题型三函数单调性的应用

命题角度一　构造函数、比较大小或解不等式

【题型要点】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

此类涉及已知 f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从

而利用单调性求解．

一、x与f(x)的组合函数

【例 1】若函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式 f(x)－x>0 的解集为________．

二、ex与f(x)的组合函数

【例 2】已知 f(x)(x∈R)有导函数，且∀x∈R，f′(x)>f(x)，n∈N*，则有(　　)

A．enf(－n)<f(0)，f(n)>enf(0) B．enf(－n)<f(0)，f(n)<enf(0)

C．enf(－n)>f(0)，f(n)>enf(0) D．enf(－n)>f(0)，f(n)<enf(0)

【例 3】设 a>0，b>0，e是自然对数的底数，则(　　)

A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a>b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a<b

C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a>b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a<b

命题角度二　已知函数单调性求参数的取值范围

【题型要点】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路

① 由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立列出不等式；

② 利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；

③ 对等号单独检验，检验参数的取值能否使 f′(x)在整个区间恒等于 0，若 f′(x)恒等于 0，则参数的这个值应

舍去；若只有在个别点处有 f′(x)＝0，则参数可取这个值．

【提醒】　f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(∈a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任意一个非空子区间上

f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

【例 4】已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．

(1)若函数 h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求 a的取值范围；

(2)若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求 a的取值范围．

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