专题3 立体几何中三个角求解问题专题提升卷（解析版）-2020-2021学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册）

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高一下学期期中复习备考精准测试卷---第二篇 专题提升卷
专题 3 立体几何中三个角求解问题
类型解读
类型一 空间线线角
【典型例题】如图所示，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，AB⊥BC，D为AC 的中点，
AA1=AB=2，BC=3.
（1）求证：AB1平面 BC1D；（2）求 AB1与BD 所成角的余弦值.
【解决策略】
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用三角形中位线定理证明 OD AB1，再用线面平行的判定定理证明 AB1平面 BC1D；
（2）先判断出∠ODB（或其补角）为 AB1与BD 所成的角，再解三角形求出余弦值.
【详解】
（1）证明：如图，连接 B1C，设 B1C与BC1相交于点 O，连接 OD．∵四边形 BCC1B1是平行四边形．
∴点O为B1C的中点．∵D为AC 的中点，∴OD 为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．
∵OD⊂平面 BC1D，AB1⊄平面 BC1D，∴AB1∥平面 BC1D．
（2）解：由（1）可知，∠ODB 为AB1与BD 所成的角或其补角，∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD
，
在Rt△ABC 中，D为AC 的中点，则 BD ， 同理可得，OB ，在△OBD 中，
1
cos∠ODB
，
∴AB1与BD 所成角的余弦值为
．
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化
归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④ 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面
直线所成的角．
【变式训练】已知在正四面体 中，点 为棱 的中点，则异面直线 与 成角的余弦值为（
）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，取 的中点 ，连接 ，则由题意可得 为异面直线 与 所成的角，
然后在 中利用余弦定理求解即可
2
【详解】设正四面体 的棱长为 ，如图，取 的中点 ，连接 ，因为点 为棱 的
中点，所以 ∥ ， ，所以 为异面直线 与 所成的角或其补角，因为
正四面体 的棱长为 ，所以 ，所以
，
类型二 空间线面角
【典型例题】如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，点 为
的中点．
（1）求三棱锥 的体积．（2）求直线 与平面 所成角的余弦值．
【解决策略】
3
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