专题03 （圆有关的最值问题)（解析版）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题三 圆有关的最值问题
一、单项选择题
1. 已知点
P(2,2)
，点 M是圆
O1:x2+
(
y −1
)
2=1
4
上的动点，点 N是圆
O2:
(
x −2
)
2+y2=1
4
上的动点，则
|
PN
|
−
|
PM
|
的最大值是
¿

¿
A.
√
5−1
B.
C.
D.
3−
√
5
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，圆有关的最值问题，体现了转化及数形结合的数学思想，属于一般题．
先根据两圆的方程求出圆心和半径，把求
|
PN
|
−
|
PM
|
的最大值转化为求
|
PF
|
−
|
PE
|
+1
，即可得解．
【解答】
解：圆
x2+
(
y − 1
)
2=1
4
的圆心
E
(
0,1
)
，圆
(
x − 2
)
2+y2=1
4
的圆心
F
(
2,0
)
，这两个圆的半径都是
1
2
．
要使
|
PN
|
−
|
PM
|
最大，需
|
PN
|
最大，且
|
PM
|
最小，
|
PN
|
最大值为
|
PF
|
+1
2
，
|
PM
|
的最小值为
|
PE
|
−1
2
，
故
|
PN
|
−
|
PM
|
最大值是
(
|
PF
|
+1
2
)
−
(
|
PE
|
−1
2
)
=
|
PF
|
−
|
PE
|
+1
¿
√
¿¿
高考对最值问题的考察比较多，也是我们比较头疼的一类问题。此类问题会有它特殊
的解决问题的方法。每一段所用的知识点不同，解决问题的手段也不同。本节内容要
抓住“与圆有关”，不管是题目给到的，还是自己用圆的知识解决的。掌握题型方
法，运用“数形结合”的思想解决问题。
自我检测
1
¿3−
√
5
，
故
|
PN
|
−
|
PM
|
的最大值为
3−
√
5
，
故选 D．
2. 已知
P(a ,b)
为圆
C:x2+y2−2x −4y+4=0
上任意一点，则
b −1
a+1
的最大值为
()
A.2B.
4
3
C.
−4
3
D.0
【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，圆有关的最值问题，属于中档题．
根据题意，求出圆心与半径，
b −1
a+1
表示点
(
a , b
)
与
A
(
−1,1
)
连线的斜率，结合图形，转化为点到直线的距
离，即可求出结果．
【解答】
解：依题意，圆 C：
x2+y2−2x − 4y+4=0
的标准方程是
(
x − 1
)
2+
(
y − 2
)
2=1
，
∴
圆心是
C
(
1,2
)
，半径
r=1
，
P
(
a , b
)
是圆 C上任意一点，
b −1
a+1
表示点
(
a , b
)
与
A
(
−1,1
)
连线的斜率，
如图所示：
2
数形结合可得，当过点 A的直线在图中的位置与圆相切时，
b −1
a+1
取得最大值，
设此时直线的斜率是 k，
则直线方程是
y −1=k
(
x+1
)
，即
kx − y +k+1=0
，
此时圆心
C
(
1,2
)
到直线
kx − y +k+1=0
的距离等于半径，
∴
|
k − 2+k+1
|
√
k2+1
=1
，解得：
k=0
或
k=4
3
，
显然
4
3>0
，
∴b −1
a+1
的最大值是
4
3
．
故选 B．
3. 已知曲线
C1
：
x2+y2−4y+3=0
与y轴交于 A，B两点，P为
C2
：
x − y − 1=0
上任意一点，则
¿PA∨+¿PB∨¿
的最小值为
()
A.2B.
2
√
5
C.
2
√
2
D.4
3
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