专题03 （圆有关的最值问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题三 圆有关的最值问题
例题 1.（2020 北京，5题）已知半径为 1的圆经过点
(3,4)
，则其圆心到原点的距离的最小值为
()
A. 4B. 5C. 6D. 7
【分析】
本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是一道常规题．
结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可．
思维升华
如何解决这类问题，关键能把几何知识转化为代数式，达到几何代数的“和谐统一”。用“数形结合”思
想来研究该类问题。
基本知识
已知点坐标为 ，直线：
两点间距离公式：
点到直线距离公式：
【答案】A
【解析】
【解答】
解：如图示：
高考对最值问题的考察比较多，也是我们比较头疼的一类问题。此类问题会有它特殊
的解决问题的方法。每一段所用的知识点不同，解决问题的手段也不同。本节内容要
抓住“与圆有关”，不管是题目给到的，还是自己用圆的知识解决的。掌握题型方
法，运用“数形结合”的思想解决问题。
1. 直击高
考
1
，
半径为 1的圆经过点
(3,4)
，可得该圆的圆心轨迹为以
(3,4)
为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离最小时，
连结 OB，A在OB 上且
AB=1
，此时距离最小，
由
OB=5
，得
，
即圆心到原点的距离的最小值是 4，
故选：A．
例2.（2018 浙江，9题）已知
a
⃗
，
b
⃗
，
e
⃗
是平面向量，
e
⃗
是单位向量．若非零向量
a
⃗
与
e
⃗
的夹角为
π
3
，向量
b
⃗
满
足
b
⃗2−4e
⃗
⋅b
⃗
+3=0
，则
¿a
⃗
− b
⃗
∨¿
的最小值是
()
A.
√
3−1
B.
√
3+1
C. 2D.
2−
√
3
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结
合的解题思想方法，属难题．
把等式
b
⃗2−4e
⃗
⋅b
⃗
+3=0
变形，可得得
(b
⃗
− e
⃗
)⋅(b
⃗
−3e
⃗
)=0
，即
(b
⃗
− e
⃗
)⊥(b
⃗
−3e
⃗
)
，设
e
⃗
=(1,0)
，则
b
⃗
的终点在以
(2,0)
为圆心，以
2
1为半径的圆周上，再由已知得到
a
⃗
的终点在不含端点 O的两条射线
y=±
√
3x(x>0)
上，画出图形，数形
结合得答案．
【解答】
解：由
b
⃗2−4e
⃗
⋅b
⃗
+3=0
，得
(b
⃗
− e
⃗
)⋅(b
⃗
−3e
⃗
)=0
，
∴(b
⃗
− e
⃗
)⊥(b
⃗
−3e
⃗
)
，
如图，不妨设
e
⃗
=(1,0)
，
则
b
⃗
的终点在以
(2,0)
为圆心，以 1为半径的圆周上，
又非零向量
a
⃗
与
e
⃗
的夹角为
π
3
，则
a
⃗
的终点在不含端点 O的两条射线
y=±
√
3x(x>0)
上．
不妨以
y=
√
3x
为例，则
¿a
⃗
− b
⃗
∨¿
的最小值是
(2,0)
到直线
√
3x − y =0
的距离减 1．
即
¿2
√
3∨¿
√
3+1−1=
√
3−1¿
．
故选：A．
例3（2020 河南，11 题）已知
⊙M
：
x2+y2−2x− 2y−2=0
，直线 l：
2x+y+2=0
，P为l上的动点．
过点 P作
⊙M
的切线 PA，PB，切点为 A，B，当
¿PM ∨⋅∨AB∨¿
最小时，直线 AB 的方程为
()
A.
2x − y −1=0
B.
2x+y −1=0
C.
2x − y +1=0
D.
2x+y+1=0
【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题．
3
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