专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（精讲）（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习学与练

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专题 2.1 不等式的性质及常见不等式解法

【考纲要求】

1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.

2.一元二次不等式：

(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.

(3)会解一元二次不等式.

3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，

|x－a|＋|x－b|≥c，

|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.

4.掌握不等式

||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.

5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.

【知识清单】

1．实数的大小

(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

(2)对于任意两个实数 a和b，如果 a－b是正数，那么 a>b；如果 a－b是负数，那么 a<b；如果 a－b等于

零，那么 a＝b.

2．不等关系与不等式

我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，

含有这些符号的式子，叫做不等式.

3．不等式的性质

(1)性质 1：如果 a>b，那么 b<a；

如果 b<a，那么 a>b.

即a>b⇔b<a.

(2)性质 2：如果 a>b，b>c，那么 a>c.

即a>b，b>c⇒a>c.

(3)性质 3：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c.

(4)性质 4：①如果 a>b，c>0 那么 ac>bc.

②如果a>b，c<0，那么 ac<bc.

(5)性质 5：如果 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d.

(6)性质 6：如果 a>b>0，c>d>0，那么 ac>bd.

(7)性质 7：如果 a>b>0，那么 an>bn，(n∈N，n≥2)．

(8)性质 8：如果 a>b>0，那么>，(n∈N，n≥2)．

4．一元二次不等式的概念及形式

(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二次不等式．

(2)形式：

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；

②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；

③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；

④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

(3)一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的 x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合

叫做这个一元二次不等式的解集.

5．分式不等式的解法

定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于 x的多项式的不等式称为__分式不等式__.

>0⇔f(x)g(x)__>__0，<0⇔f(x)·g(x)__<__0.

≥0⇔

⇔f(x)·g(x)__>__0 或.

≤0⇔⇔f(x)·g(x)__<__0 或

6．简单的高次不等式的解法

高次不等式：不等式最高次项的次数高于 2，这样的不等式称为高次不等式.

解法：穿根法

①将f(x)最高次项系数化为正数；

②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；

③ 将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次

方根穿而不过，奇次方根穿过)；

④ 观察曲线显现出的 f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．

7.不等式恒成立问题　

1．一元二次不等式恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足.

2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成 k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．

设f(x)的最大值为 M，最小值为 m.

(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.

(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.

8．绝对值不等式的解法

1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．

2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式

(1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－ c≤ax ＋ b≤c (c>0)， |ax＋b|

≥c⇔ax ＋ b≥c

或

ax ＋ b≤ － c (c>0)．

9．绝对值不等式的应用

如果 a，b 是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．

【考点梳理】

考点一：用不等式表示不等关系

【典例 1】某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1 元，

销售量就可能相应减少 2 000 本，若把提价后杂志的定价设为 x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不

低于20 万元？

【规律总结】

用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：

①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至

多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．

②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．

【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600

mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．

考点二：比较数或式子的大小

【典例 2】(1)比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；

(2)设a∈R且a≠0，比较a与的大小．

【领悟技法】

1.比较大小的常用方法

(1)作差法

一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化

等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

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