专题02排列与组合（解析版）-2021年高考数学（理）计数原理与概率突破性讲练

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2021 年高考数学（理）计数原理与概率突破性讲练
02 排列与组合
一、考点传真：
1.理解排列、组合的概念；
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.
二、知识点梳理：
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个不
同元素
按照一定的顺序排成一列
组合 合成一组
2.排列数与组合数
(1)从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个元素的所有不同排列的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的
排列数.
(2)从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个元素的所有不同组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的
组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝
n
(
n
－
1)(
n
－
2)…(
n
－
m
＋
1)
＝.
(2)C＝＝＝(
n
，
m
∈N*，且
m
≤
n
). 特别地 C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝
n
！
.
(2)C＝C；C＝C ＋ C
【注意点】
1
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免
出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
三、例题：
例1.（2020 年上海卷，9）从 6人中挑选 4人去值班，每人值班 1天，第一天需要 1人，第二天需要 1人，
第三天需要 2人，则有 种排法。
【答案】180
【解析】
例 2. (2018 全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想
是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如
30 7 23 
．在不超过 30 的素数中，随机选取两
个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ）
A．
1
12
B．
1
14
C．
1
15
D．
1
18
【答案】C
【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两个不同的
数有
2
10
C
种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率
2
10
3 1
C 15
 P
，
故选 C．
例 3. （2017 山东）从分别标有
1
，
2
，
，
的
张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张．则抽
到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A．
5
18
B．
4
9
C．
5
9
D．
7
9
2
【答案】C
【解析】不放回的抽取 2 次有
1 1
9 8
C C 9 8 72  
，如图
2
1，3，4，5，6，7，8，9
2，3，4，5，6，7，8，9
1
可知
(1, 2)
与
(2,1)
是不同，所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有
1 1
5 4
2C C
=40，所求概率为
40 5
72 8
．
例 4. 2016 四川）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48 C．60 D．72
【答案】D
【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、3、5 中任选一个，有
1
3
A
种方法，其
他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列,有
4
4
A
种方法，所以其中奇数的个数为
1 4
3 4
A A 72
，故选 D．
例 5. （2014 新课标 1）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学
参加公益活动的概率为
A．
1
8
B．
3
8
C．
5
8
D．
7
8
【答案】D
【解析】
4
4
2 2 7
2 8
P
 
．
3
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