专题02 圆锥曲线中的定点问题-2021年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）（解析版）

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专题 2 圆锥曲线中的定点问题

圆锥曲线中定点问题是比较常见出题形式，属于中等难度题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美

学范畴。主要的命题方向：直线方程过定点问题（分定点已知和定点未知两类），曲线过定点问题等。

解决这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变

换等寻找不受参数影响的量．

方法 1、直线方程过定点

技巧方法：1）动直线 l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将 t用k表示为 t＝f

（k），或直接求出 m的值，故而得出动直线过定点．上述动直线也可设为：x＝ty＋m.(斜率不为 0)。

2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，

从而得到定点。3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方

程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此

类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

1）、直线方程过未知定点

1．（2021·广东高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭

圆的左顶点，且，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点

，为椭圆上异于点的动点，设直线，的斜率分别为，，且，过原点

作直线的垂线，垂足为点．问：是否存在定点，使得线段的长为定值？若存在，求出定

点的坐标及线段的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在定点，的坐标为，线段的长为．

【分析】（1）根据，由求得 c，再利用离心率为求解；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由，求得 m，n的关系，代入

直线方程，求得定点 F，再根据，由点为线段的中点时，线段的长为定值求解.

【详解】（1）设，，因为，

所以，所以，

又椭圆的离心率为，所以，所以，

所以，所以椭圆的标准方程为．

（2）由（1）可知点的坐标为，设直线的方程为，，

，

将代入，消去可得，

则，，，

由，可得，即，

即，化简可得，

所以，所以（舍去）或，

所以直线的方程为，即，

当时，，所以直线过定点．

因为，所以点在以为直径的圆上，

所以当点为线段的中点时，线段的长为定值，此时点的坐标为，线段的长为．

【点睛】 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直

接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐

标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标

的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题

意．

2．（2021·四川高三三模）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若在轨迹上，过点作轨迹的弦，，

若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．

【答案】（1）；（2）证明见解析，直线过定点．

【分析】（1）设动圆圆心，当不在轴上时，轨迹方程为；当在轴上时，

与原点重合，即得轨迹方程；（2）设直线的方程为，，．联立

直线和抛物线的方程得到韦达定理，由得，即得直线过定点．

【详解】解：（1）设动圆圆心，由题可知，

当不在轴上时，过作交于，则是的中点．

所以，化简得

当在轴上时，动圆过定点，且在轴上截得弦的长为，所以与原点重合，即

点也满足方程，综上，动圆圆心的轨迹的方程为

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