专题02 常用的逻辑用语（解析版）-2020-2021学年高考数学精选新题专项汇编（全国通用）

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2020-2021 学年高考数学精选新题专项汇编（全国通用）
专题 02 常用的逻辑用语
一．选择题
1．（2021•二模拟）设 E，F分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱 DC 上两点，且 AB＝2EF＝2，给出下列
四个命题：
① 三棱锥 E﹣B1D1F的体积为定值；
② 异面直线 D1B1与EF 所成的角为 60°；
③直线D1B1与平面 D1EF 所成的角为 30°；
④平面D1EF⊥平面 B1EF．
其中正确的命题序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③④
【解答】解：对①，三棱锥 E﹣B1D1F的体积 V
¿1
3
S
❑△D1EF
•B1C1
¿1
3×1
2×
1×2
¿2
3
为定值，所以①正确，
对于② EF∥D1C1，∠B1D1C1即是直线 B1D1与EF 所成的角为 45°，所以②不正确；
对于③，在三棱锥 D1﹣B1DC 中，设 D1到平面 B1DC 的距离为 h，V
❑B1−D1DC =¿
V
❑D1−DC B1
，
即
1
3×
2
2h×2
¿1
3×1
2×
2×2
√
2
，解得：h
¿
√
2
，
直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角的正弦值为
√
2
2
√
2=1
2
，即所成的角为 30°，所以③正确；
对于④，E，F是DC 上的两个动点，平面 D1EF 即平面 D1DCC1，平面 B1EF 即平面 A1B1CD，
显然平面 D1CD 与平面 B1CD 不垂直，故④错误，
故选：A．
2．（2021•二十模拟）已知直线 l⊄平面 α，直线 m⊂平面 α，给出下面四个结论：①若 l与m不垂直，则 l
与α一定不垂直；②若 l与m所成的角为 30°，则 l与α所成的角也为 30°；③ l∥m是lα∥的必要不充分
条件；④若 l与α相交，则 l与m一定是异面直线．其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，当 l与m不垂直时，假设 lα⊥，由 lα⊥一定能得到 l⊥m，这与已知条件矛盾，
因此 l与α一定不垂直，①正确；
对于②，易知 l与m所成的角为 30°时，l与α所成的角不一定为 30°，②错误；
对于③由 l∥m可以推出 lα∥，但 lα∥不能推出 l∥m，因此 l∥m是lα∥的充分不必要条件，③错误；
1
对于④若 l与α相交，则 l与m相交或异面，④错误．
故正确的结论为①．
故选：A．
3．（2021•山东模拟）已知命题 p：x2
−
√
2
x4﹣ ＞0，q：7x24﹣x1﹣ ＞0，则 p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵x2
−
√
2
x4﹣ ＞0，∴x＞2
√
2
或x
＜−
√
2
，
7∵x24﹣x1﹣ ＞0，∴7x＞24x+1，
结合指数函数和一次函数的性质得（2，49）是图象的交点，
且y＝7x恒大于 0，故 q：x＞2或x＜0，
根据充分必要条件的大于可知 p是q的充分不必要条件，
故选：A．
4．（2021•十二模拟）已知函数 f（x）
¿
{
¿sinx∨，sinx ≥ cosx
¿cosx∨，sinx ＜cosx
，有以下四个结论：① f（x）的值域是
[0，1]；② f（x）是以 π为最小正周期的周期函数；③ f（x）在（π，
3π
2
）上单调递增；④ f（x）在
[0，2π]上有 2个零点．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
【解答】解：f（x）
¿
{
¿sinx∨，π
4+2kπ ≤ x ≤ 5π
4+2kπ (k∈Z)
¿cosx∨，−3π
4+2kπ ＜x＜π
4+2kπ (k∈Z)
，
作出函数 f（x）的大致图象，如图示：
，
易知 f（x）的值域是[0，1]，故①正确；
由于 f（π）＝|sinπ|＝0，f（2π）＝|cos2π|＝1，故 f（2π）≠f（π），
2
故π不是 f（x）的最小正周期，故②不正确；
由图象可知 f（x）在（π，
5π
4
）上单调递增，在（
5π
4
，
3π
2
）上单调递减，故③不正确；
在[0，2π]上，几何图形可知 f（π）＝f（
3π
2
）＝0，
故f（x）在[0，2π]上有 2个零点，故④正确；
综上，所有正确的序号是①④，
故选：B．
5．（2021•浙江模拟）已知三条不同的直线 a，b，c，两个不同的平面 α，β，则下列说法错误的是（
　）
A．若 aα⊥，bβ⊥，α β∥，则 a∥b
B．若 aα⊥，bβ⊥，α β⊥，则 a⊥b
C．若 aα⊥，α β∥，a⊥b，则 bβ∥
D．若 aα⊥，α∩β＝c，b∥c，则 a⊥b
【解答】解：对于 A，由 aα⊥，α β∥，得 aβ⊥，又 bβ⊥，所以 a∥b，故 A正确；
对于 B，由 aα⊥，α β⊥，得 aβ∥或aβ⊂，又 bβ⊥，所以 a⊥b，故 B正确；
对于 C，由 aα⊥，α β∥，得 aβ⊥，又 a⊥b，所以 bβ∥或bβ⊂，故 C错误；
对于 D，由 aα⊥，α∩β＝c，得 a⊥c，又 b∥c，所以 a⊥b，故 D正确．
故选：C．
6．（2021•十四模拟）已知函数 f（x）
¿
√
3
sinωx+cos（π+ωx）（ω＞0）图象上的最高点与最低点之间距离
的最小值为
√
π2+64
2
，下面给出了四个命题：
①函数f（x）的极大值为
√
3+¿
1；
[②
4π
3
，
11 π
6
]为函数 f（x）的一个单调递减区间；
③函数f（x）的图象关于点（
−5π
12
，0）对称；
④ 将函数 f（x）的图象向右平移
π
12
个单位长度后，所得图象关于原点对称．
这四个命题中，所有真命题的编号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
【解答】解：函数 f（x）
¿
√
3
sinωx+cos（π+ωx）＝2sin（ωx
−π
6
），其最小正周期 T
¿2π
ω
，
3
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