专题1.3 数列-常规型（解析版）

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专题 1.3 数列-常规型

（1）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明 an－an－1＝

d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明 2an＋1＝an＋an＋2．若证明一个数列不是等差数列，

则只需举出反例即可，也可以用反证法．

（2）数列求和的常用方法：

①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

③对于结构，利用分组求和法；

④对于结构，其中是等差数列，公差为，则

，利用裂项相消法求和．

（3）数列求和的常用方法：（设数列是等差数列，是等比数列）

①公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

②错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

③裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

④分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负

相间等特征时可能用并项求和法；

⑤倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

（4）裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突

破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

①；② ；

③； ④

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导

致计算结果错误．

（5）数列求和的方法技巧

①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

1．已知数列的前项和为．

（1）证明：数列为等比数列，并求出．

（2）求数列的前项和．

【试题来源】山东省潍坊市 2021 届高三一模考试

【答案】（1）证明见解析；；（2）．

【分析】（1）根据递推关系及等比数列的定义证明；

（2）由（1）可得，根据关系求解通项，根据等比数列求和公式计算即

可．

【解析】（1）由已知，整理得，

所以，

令，得，所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以；

（2）由（1）知，，

当时，，

当时，，所以

所以

所以．

2．已知分别是等差数列和等比数列，，且．

（1）若成等差数列，求的通项公式；

（2）当时，证明：．

【试题来源】浙江省超级全能生 2021 届高三下学期 3月联考

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）设数列的公差为的公比为，然后根据条件建立

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