专题1.3 复数与平面向量（解析版）

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专题 1.3 复数与平面向量
——上海最新真题模拟题 50 题精选
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）设 是复数，则“ 是虚数”是“ 是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．
【详解】充分性：取 ，故 是实数，故充分性不成立；
必要性：假设 是实数，则 也是实数，与 是虚数矛盾，∴ 是虚数，故必要性成立．
故选：
B
．
.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．
2．（2020·上海奉贤区·高三一模）设 是直线 的一个方向向量， 是
直线 的一个法向量，设向量 与向量 的夹角为 ，则 为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用直线方程确定直线 的方向向量 ，以及直线 的法向量 ，利用向量夹角公
式求解.
【详解】由题意， 是直线 的一个方向向量，则 ，
是直线 的一个法向量， ，
则 ，
故 ，
故选：C.
3．（2020·上海崇明区·高三一模）设 ，则 是 为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
1
【分析】设 ，则 ， ，分充分性和必要性进行讨论即可.
【详解】解：设 ，则 ，
若 ，则 ， ，当 ，则 ，不是纯虚数
若 为纯虚数，则 ， ，此时 成立
所以 是 为纯虚数的必要不充分条件
故选 B.
【点睛】本题考查了复数的有关概念，充分必要条件的判断，属于基础题.
4．（2020·上海静安区·高三一模）设 ，若复数 是纯虚数，则点 一定
满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解．
【详解】由 是纯虚数，
∴ ，得
x
≠0，
y
．
故选：
B
．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．（2020·上海奉贤区·高三一模）复数 满足 （ 为虚数单位），则复数
模的取值范围是
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求出复数 模的取值范围.
【详解】 它表示复平面上到 距离为 2 的点的集合，显然是以 为圆心，2
为半径的圆， 模的几何意义是以 为圆心，2 为半径的圆上的点到 点的距离，
显然复数 模的最大值为： ，最小值为： .
故选：A
【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了圆的几何性质.
6．（2020·上海徐汇区·高三一模）若 是关于 的实系数方程 的一根，
2
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入方程 ，根据复数为零可得出关于实数 、 的方程组，
可解出 、 的值，由此可得出 的值.
【详解】由题意可得 ，即 ，
所以 ，解得 ，因此， .
故选：A.
7．（2020·上海长宁区·高三一模）对任意向量 ､，下列关系式中不恒成立的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的平方即为模的平方．即可判断 A；运用平方差公式和向量数量积的性质，
即可判断 B；运用向量数量积的定义，即可判断 C； 运用向量模的性质，即可判断 D.
【详解】A，由模的平方等于向量的平方知 恒成立，故正确；
B，由平方差公式知 恒成立，故正确；
C， 恒成立，故正确；
D，当 不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知， ，故
不恒成立，故 D 错误.
故选：D
8．（2020·上海高三一模）设 、 均为实数，关于 的方程 在复数集 上
给出下列两个结论：
① 存在 、 ，使得该方程仅有两个共轭虚根；
② 存在 、 ，使得该方程最多有 个互不相等的根．
其中正确的是（ ）．
3
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