专题01 解三角形（解析版）-【新高考】2021年高考数学考前复习高频易考解答题专题

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专题 01 解三角形（固定模型+结构不良型）

知识必备+难点剖析+模拟演练

知识必备

1．正弦定理：＝2R，其中 R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝

sin_A ∶ sin _B ∶ sin _C；(2)a＝2 R sin _A，b＝2 R sin _B，c＝2 R sin _C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等

形式，以解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cos A

＝，cos B＝，cos C＝.

3． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝ (a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算

R、r.

4．在△ABC 中，已知 a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系

式

a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>b

解的

个数一解两解一解一解

5．实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水

平视线下方叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°等．

(3)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 α(如图②)．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．

难点剖析

1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，

A>B a>b sin A>sin B.⇔ ⇔

2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

3.(1)已知△ABC 的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元

二次方程求得．

(2)涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角

函数的有界性、单调性．

4.(1)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用．

(2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．

5．求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公

式求面积．

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择

面积公式是解题的关键．

6．已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

模拟演练

题型一、固定模型

1．（2021·江苏南京高三模拟）在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝

2abccosC

．

（1）求角 B的大小；

（2）若，求的值．

【解析】（1）因为，

所以，

因为由正弦定理可得：

，

所以，，，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以．

（2）由（1）知，

因为，

所以，

因为，

所以，

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