招式十：存在性问题-终结圆锥曲线大题十个大招

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招式十：存在性问题
例1、设椭圆 E:
2 2
2 2 1
x y
a b
 
（a,b>0）过 M（2，
2
） ，N(
6
,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆 E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且
OA OB
              
？若存
在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆 E:
2 2
2 2 1
x y
a b
 
（a,b>0）过 M（2，
2
） ，N(
6
,1)两点,
所以
2 2
2 2
4 2 1
6 1 1
a b
a b
 
 
解得
2
2
1 1
8
1 1
4
a
b
所以
2
2
8
4
a
b
椭圆 E的方程为
2 2
1
8 4
x y
 
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且
OA OB
 
,设
该圆的切线方程为
解方程组
2 2
1
8 4
x y
y kx m
 
 
得
2 2
2( ) 8x kx m  
,即
2 2 2
(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m  
,
则△=
2 2 2 2 2 2
16 4(1 2 )(2 8) 8(8 4) 0k m k m k m  
,即
2 2
8 4 0k m  
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 8
1 2
km
x x k
m
x x k
 
 
,
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
(2 8) 4 8
( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2
k m k m m k
y y kx m kx m k x x km x x m m
k k k
 
 
 
要使
1
OA OB
 
,需使
1 2 1 2 0x x y y 
,即
2 2 2
2 2
2 8 8 0
1 2 1 2
m m k
k k
 
 
 
,所以
2 2
3 8 8 0m k  
,所以
2
23 8 0
8
m
k
 
又
2 2
8 4 0k m  
,所以
2
2
2
3 8
m
m
,所以
28
3
m
,即
2 6
3
m
或
2 6
3
m 
,因为直
线
为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为
2
1
m
r
k
,
2 2
2
2
2
8
3 8
1 3
18
m m
rm
k
 
,
2 6
3
r
,所求的圆为
2 2 8
3
x y 
,此时圆的切线
都满足
2 6
3
m
或
2 6
3
m 
,而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆
2 2
1
8 4
x y
 
的两个交点
为
2 6 2 6
( , )
3 3
或
2 6 2 6
( , )
3 3
 
满足
OA OB
 
,综上, 存在圆心在原点的圆
2 2 8
3
x y 
，使得该
圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且
OA OB
 
.
因为
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 8
1 2
km
x x k
m
x x k
 
,
所以
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
4 2 8 8(8 4)
( ) ( ) 4 ( ) 4
1 2 1 2 (1 2 )
km m k m
x x x x x x k k k
 
 
 
,
 
2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2
8(8 4)
| | ( ) (1 )( ) (1 ) (1 2 )
k m
AB x x y y k x x k k
 
 
4 2 2
4 2 4 2
32 4 5 1 32 [1 ]
3 4 4 1 3 4 4 1
k k k
k k k k
 
 
   
,
2
① 当
0k
时
2
2
32 1
| | [1 ]
1
34 4
AB
kk
 
 
因为
2
2
1
4 4 8kk
 
所以
2
2
1 1
018
4 4kk
 
 
,所以
2
2
32 32 1
[1 ] 12
1
3 3 4 4kk
 
 
,
所以
46 | | 2 3
3AB 
当且仅当
2
2
k 
时取”=”.
②当
0k
时,
4 6
| | 3
AB
.
③当AB 的斜率不存在时, 两个交点为
2 6 2 6
( , )
3 3
或
2 6 2 6
( , )
3 3
 
,所以此时
4 6
| | 3
AB
,
综上, |AB |的取值范围为
46 | | 2 3
3AB 
即:
4
| | [ 6, 2 3]
3
AB
2、在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点
和 ．（I）求 的取值范围；（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常
数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 ．
3
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