一隅三反系列之高一数学新教材必修第一册（人教A版）3.4 函数的应用（一）（精讲）（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 35 4 253.72KB 7 页 3知币
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3.4 函数的应用（一）
考点一 一次函数模型
【例 1】（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本 y（元）与日产量 x（套）之间的关系为 y
＝6x＋30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000 套B．3 000 套
C．4 000 套D．5 000 套
【答案】D
【解析】因利润 z＝12x－(6x＋30 000),所以 z＝6x－30 000,由z≥0 解得 x≥5 000,故至少日生产文具盒 5 000 套.
故选：D
【一隅三反】
1．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元，其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一
件产品有 0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1立方米污水所用原料费 2元，并且每月排污设备损耗
为30000 元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1立方米污水需付 14 元的排污费.问：
（1）工厂每月生产 3000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？
通过计算加以说明.
（2）若工厂每月生产 6000 件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
【答案】见解析
思维导图
常见考法
1
【解析】设工厂每月生产 x件产品时，依方案一的利润为
y1
，依方案二的利润为
y2
，由题意知
y1=
(
50−25
)
x−2×0.5x−30000=24 x−30000
，
y2=
(
50−25
)
x−14 ×0.5x=18 x
.
（1）当
x=3000
时，
y1=42000
，
，
因为
y1<y2
，所以应选择方案二处理污水.
（2）当
x=6000
时，
y1=114000
，
y2=1 08000
，
因为
y1>y2
，所以应选择方案一处理污水
考点二 二次函数模型
【例 2】（2020·浙江高一课时练习）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千
克）与销售单价 （单位：元/千克）满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知
销售单价为 元/千克时，每日可售出该商品 千克.
（1）求 的值；
（2）若该商品的进价为 元/千克，试确定销售单价 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，
并求出利润的最大值.
【答案】（1） （2）当 时，函数 取得最大值，且最大值等于 440.
【解析】（1）因为 .且 时， .
所以 解得. .
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量 .
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
2
因为 为二次函数，且开口向上，对称轴为 .
所以，当 时，函数 取得最大值，且最大值等于 440.
所以当销售价格定为 6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为 440 元.
【一隅三反】
1．（2020·全国高一专题练习）某商店进货单价为 45 元，若按 50 元一个销售，能卖出 50 个，若销售单价
每涨 1元，其销售量就减少 2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.
【答案】60
【解析】设涨价 x元，销售的利润为 y元，
则 ，
当 ，即销售单价为 60 元时，y取得最大值.故答案为：60
2（2019·安徽金安.六安一中高一月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健
型产品的收益 与投资额 成正比，且投资 1万元时的收益为 万元，投资股票等风险型产品的收益
与投资额 的算术平方根成正比，且投资 1万元时的收益为 0.5 万元，
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收
益为多少万元？
【答案】（1） ；（2）投资债券等稳健型产品为 万元，投资股票等风
险型产品为 万元，投资收益最大为 3万元.
【解析】（1）依题意设 ，
，
3
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