新高考数学之导数综合讲义第15讲 导数解答题之导数中的卡根思想（解析版）

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第15 讲 导数解答题之导数中的卡根思想
1．已知函数 ，
求函数 的单调区间，
（Ⅱ）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
【解析】解：（Ⅰ） 的定义域是 ， ，
时， ， 递增，
时，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递增，在 ， 递减；
（2） 恒成立，可得 恒成立，
等价为 在 恒成立．
令 ，只需 ，
，令 ，可得 ，
设 ， ，
在 递减，设 的根为 ，当 ， ，
当 ， 时， ，
1
在 递增，在 ， 递减，
即有 ，
由 ， （1） ，则 ，
此时 ，即 ，
即 ，
则有整数 的最小值为 2．
2．已知函数 ， ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ， ，求 在 ， 上的最小值（结果用 表示）；
（Ⅲ）关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值．
【解析】解：（Ⅰ） ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故函数 在 递减，在 ， 递增；
（Ⅱ）函数 ， ， ，
令 ，由（Ⅰ）得： 在 ， 上单调递增，
所以 ， ，
2
的图象的对称轴 ，若 ， ，
则 ，
在 ， 上递增，
，
即 在 ， 上的最小值是 ；
（Ⅲ）由 恒成立，
化为： ，
只需 ， ．
，
令 ，解得 ，此时函数 单调递增；
令 ，解得 ，此时函数 单调递减．
当 时，函数 取得极大值即最大值， （e） ，
．
整数 的最小值为 1．
3
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