新高考数学之导数综合讲义第13讲 导数解答题之构造新函数类（解析版）

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第13 讲 导数解答题之构造新函数类
1．已知函数 ， ，其中 ， 均为实数．
（1）求 的极值；
（2）设 ， ，若对任意的 ， ， ， 恒成立，求
的最小值；
（3）设 ，若对任意给定的 ， ，在区间 ， 上总存在 、 ，使得
成立，求 的取值范围．
【解析】解：（1） ，令 ，解得 ，
， 时， ； 时， ，根据极大值的定义知： 极大值是
（1） ，无极小值．
（2）当 ， 时， ，所以在 ， 上 ，所以 在 ， 上是
增函数．
设 ，所以在 ， 上 ，所以 在 ， 上为增函数．
设 ， 则 恒 成 立 ， 变 成 恒 成 立 ， 即 ：
恒 成 立 ， 即 ： ． 设
，则 在 ， 上为减函数．
在 ， 上恒成立．
1
恒成立．设 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 为减函数．
在 ， 上的最大值为 （3） ．
， 的最小值为： ．
（3）由（1）知 在 ， 上单调递增，在 ， 单调单调递减，又 ， （e） ，所以
的值域是 ， ．
；
当 时， ，在 ， 为减函数，由题意知， 在 ， 不是单调函数；故 不
合题意；
当 时， ，由于 在 ， 上不单调，所以 ，即 ；①
此时 在 递减，在 ， 递增；
（e） ，即 ，解得 ；②
所以由①②，得 ；
， ， （1） 满足条件．
下证存在 ， 使得 ；
取 ，先证 ，即证 ；③
设 ，则 在 ， 时恒成立；
2
在 ， 上递增， ，所以③成立；
再证 ；
， 时，命题成立．
所以 的取值范围是： ， ．
2．已知 ．
（1）当 时，
①求 的图象在点 处的切线方程；
②当 时，求证： ．
（2）若存在 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） 时， ， ，
①可得 ， ，
所以 在 处的切线方程为 ；
②证明：设 ，
， ，
所以， 在 ， 上递增，所以 ，
3
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