新高考数学之导数综合讲义第09讲 导数中的距离问题（解析版）

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第9讲 导数中的距离问题
1．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为 　　
A．B．C．D．
【解析】解： 函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称，
函数 上的点 到直线 的距离为 ，
设 ，则 ，
由 可得 ，
由 可得 ，
函数 在 单调递减，在 ， 单调递增，
当 时，函数 ，
，
由图象关于 对称得： 最小值为 ．
故选： ．
2．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 　　
A．B．C．D．
【解析】解： 与 互为反函数，它们图象关于直线 对称；
又 ，由直线的斜率 ，得 ，
1
，
所以切线方程为 ，
则原点到切线的距离为 ，
的最小值为 ．
故选： ．
3．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 　　
A．B．C．D．
【解析】解： 函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称
函数 上点 到直线 的距离为
设 则
由 可得 ，
由 可得
函数 在 单调递减，在 ， 单调递增
当 时，函数
故选： ．
2
4．设动直线 与函数 ， 的图象分别交于点 、 ，则 的最小值为 　　
A．B．C．D．
【解析】解：画图可以看到 就是两条曲线间的垂直距离．
设 ，
求导得： ．
令 得 ；令 得 ，
所以当 时， 有最小值为 ，
故选： ．
5．设动直线 与函数 ， 的图象分别交于点 ， ，则 最小值的区间为 　　
A．B．C．D．
【解析】解：画图可以看到 就是两条曲线间的垂直距离．
设 ，
求导得： ． （1） ， ，
所以存在 ， ，使得 ， ，
，函数是减函数，
， ，函数是增函数，
所以函数的最小值在 与 （1）之间．
3
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