题型15 实数的运算、方程（组）、不等式（组）（解析版）

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备考 2020 年中考一轮复习点对点必考题型

题型 15 实数运算，方程（组）、不等式（组）

考点解析

1．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，

又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算

加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三

角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运

算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

2．零指数幂

零指数幂：a0＝1（a≠0）

由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出 a0＝1（a≠0）

注意：00≠1．

3．负整数指数幂

负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）

注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）

的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

4．特殊角的三角函数值

（1）特指 30°、45°、60°角的各种三角函数值．

sin30°

¿1

； cos30°

√

；tan30°

√

；

sin45°

√

；cos45°

√

；tan45°＝1；

sin60°

√

；cos60°

¿1

； tan60°

√

；

（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正

切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角

三角形中应用较多．

5．解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组

中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未

知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出 x（或 y）的值．④将求得的未知数的值代

入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的 x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相

等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个

方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未

知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得

的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用

{

x=a

y=b

的形式表示．

6．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．

7．解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两

个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一

元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，

得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

8．在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含

于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

【规律方法】不等式解集的验证方法

　　某不等式求得的解集为 x＞a，其验证方法可以先将 a代入原不等式，则两边相等，其次在 x＞a的范围

内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．

9．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组

的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些

解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

五年中考

1．（2019•成都）（1）计算：（π2﹣）02cos30°﹣

−

√

16+¿

−

√

|．

（2）解不等式组：

{

3(x − 2)≤4x −5， ①

5x − 2

4＜1+1

2x． ②

【点拨】（1）本题涉及零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数 4个考点．在计算时，需要针

对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【解析】解：（1）原式＝1 2﹣

√

2−

√

3−

1，

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