山东省泰安市2020-2021学年高一下学期期末考试考前模拟 数学试题

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山东省泰安市 2020-2021 学年高一下学期期末考试考前模拟
数学学科试题 2021.7
分值:150 分 时间:120 分钟 第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数
z1
对应复平面内的点 ，且
z1⋅z2=1+i
，则复数 的虚部为
()
A．
−5
13
B．
5
13
C． D．
1
13
2. 某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满 元就送一次抽奖机会，中奖的概率为
10 %
．那么以下理解正确的是
A．某人抽奖 次，一定能中奖
次
B．某人消费
1000
元，至少能中奖 次
C．某人抽奖
1
次，一定不能中奖
D．某人抽奖
10
次，可能
1
次也没中奖
3. 在 中，若
AC=4
，
AB=6
， ，则
()
A． B．
π
4
C．
π
3
D．
4. 已知向量
⃗
a=
(
cos 75∘,sin 75∘
)
，
b=
(
cos 15∘,sin 15∘
)
，则
∣
⃗
a−
⃗
b∣
的值为
A． B． C．
2
D．
3
5. 演讲比赛共有
9
位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9
个原始评分
中去掉 个最高分、 个最低分，得到 个有效评分． 个有效评分与
9
个原始评分相比，
不变的数字特征是
()
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
6. 如图，
△OʹAʹBʹ
是水平放置的
△OAB
的直观图，则 的面积是
()
A． B． C． D．
12
7. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 次，至少击中 次的概率．先由计算器给出
0
到 之间取整数值的随机数，指定
0
， 表示没有击中目标，
2
， ，
4
，
5
，
6
， ， ，
9
表
示击中目标，以 个随机数为一组，代表射击
4
次的结果，经随机模拟产生了 组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347
4373 8636 6947 1417 4698
3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击 次至少击中
3
次的概率为
()
A．
0.85
B． C．
0.80
D．
0.75
8. 在四棱锥 中，
PC ⊥底面 ABCD
，底面为正方形， ，异面直线
与
AD
，
QB
与
PC
所成的角均为
60∘
，记四棱锥
P−ABCD
与四棱锥 的
外接球的半径分别为
R1
，
R2
，则
R2
R1
=¿
()
A．
√
35
7
B．
√
105
15
C． D．
√
105
18
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9. 若点 ， ，
F
分别为
△ABC
的边
BC
， ，
AB
的中点，且
⃗
BC =
⃗
a
， ，则
下列结论正确的是
()
A．
⃗
AD=−1
2
⃗
a−
⃗
b
B．
⃗
BE=
⃗
a+1
2
⃗
b
C．
⃗
CF=−1
2
⃗
a+1
2
⃗
b
D．
⃗
EF=1
2
⃗
a
10. 某市 月
17
日至
21
日期间空气质量呈现重度及以上污染水平，
经市政府批准，该市启动了空气重污染红色预警，期间实行机动车
“单双号”限行等措施，某报社会调查中心联合问卷网，对
人进行问卷调查，并根据调查结果得到如下饼图，则下列结论正确
的是
A．“不支持”部分所占的比例大约是整体的
1
12
1
B．“一般”部分所占的人数估计是 人
C．饼图中如果圆的半径为 ，则“非常支持”部分扇形的面积是
7
6π
D．“支持”部分所占的人数估计是 人
11. 设
△ABC
的内角 ， ，
C
所对的边分别为 ，
b
， ，则下列选项中正确的有
()
A．若 ，则
a:b:c=1: 2 :3
B．若
sin A>sin B
，则 ；
C．若
b2=a2+c2−ac
，则
cos B=1
2
D．若 ，则
△ABC
为锐角三角形
12. 如图正方体
ABCD−A1B1C1D1
的棱长为
2
，线段
B1D1
上
有两个动点
E
， ，且 ，则下列结论中正确的是
A．
AC ⊥BE
B．
EF ∥平面 ABCD
C．三棱锥
A−BEF
的体积为定值
D． 的面积与
△BEF
的面积相等
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上.
13. 样本容量为
10
的一组样本数据依次为：
3
， ，
0
，，，，
6
，
8
，
2
， ，该组数据的第
50
百分位数是 ，第 百分位数是 ．
14. 已知
z∈C
，且满足 ，求
z=¿
．
15. 在平面直角坐标系中，已知点
A
(
−1,0
)
，
B
(
2,0
)
， ，
F
是 轴上 的 两个动点，且
∣
⃗
EF ∣=2
，则
⃗
AE ⋅
⃗
BF
的最小值为 ．
16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱
体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 ）．半正多面体是由两种
或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美，图 是一个棱数为
48
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 ．则该
半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
四、解答题
17. 已知
∣
⃗
a∣=4
，
∣
⃗
b∣=2
，且
⃗
a
与 的夹角为
120∘
．
(1) 求
∣
⃗
a+
⃗
b∣
．
(2) 若 ，求实数
k
的值．
18. 2020 年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按
进服务区的先后每间隔 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 名驾驶员进行询问调查，将他们
在某段高速公路的车速
(
km/h
)
分成六段：
[
60,65
)
， ，
[
70,75
)
，
[
75,80
)
，
[
80,85
)
，
后得到如图的频率分布直方图．
2
(1) 某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
(2) 求这 辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；
(3) 若从车速在
[
60,70
)
的车辆中任抽取
2
辆，求车速在
[
65,70
)
的车辆至少有一辆的概率．
19. 如图，在平行四边形 中，
AB=AC=4
， ， 以
AC
为 折痕将
△ACM
折起，使点
M
到达点 的位置，且
AB⊥DA
．
(1) 证明：
平面 ACD ⊥平面 ABC
；
(2) 设
Q
为线段
AD
上一点，
P
为线段
BC
上一点，且
BP=DQ=1
4DA
，求三棱锥
的体积．
20. 在锐角 中，角 ，
B
，
C
的对边分别为 ， ，
c
，设
△ABC
的面积为 ，
已知
c=
√
7
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求
a
与
sin C
的值．
条件①：；条件②：
S△ABC=3
√
3
2
；条件③：
cos B=
√
7
14
．
21. 分制乒乓球比赛，每赢一球得 分，当某局打成 平后，每球交换发球权，先多得
2
分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率
为
0.5
，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的结果相互独立．在某局双方
10 : 10
平后，甲
先发球，两人又打了
X
个球该局比赛结束．
(1) 求
P
(
X=2
)
；
(2) 求事件“ 且甲获胜”的概率．
22. 如图，在长方形
ABCD
中，
AB=2AD
，
M
为 的中点，将
△ADM
沿 折起，
使得平面
ADM ⊥平面 ABCM
，点 是线
段
的中点，
(1) 求证：
平面 DOB ⊥平面 ABCM
；
(2) 求证：
AD⊥BM
；
(3) 过点 是否存在一条直线
l
，同时满足以下两个条件：
① ；②
l∥AM
？并说明理由．
3
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