考点08 函数的奇偶性-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 08 函数的奇偶性

【命题解读】

函数的奇偶性是函数的一个重要性质，在高考的试题中是必考内容，奇偶性在求解过

程中要注意函数的定义域的对称，奇偶性可以说是函数的一个“整体”性质，要与单调性

区分开来。奇偶性的考察近几年的试题中主要是在函数图象等方面出现，整体难度中等。

【命题预测】

预计 2021 年的高考函数的奇偶性还是必考内容，在出题上多注意具有奇偶性函数的图

象性质，以及借助函数的奇偶性求解函数的解析式等等。

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解函数的奇偶性的概念以及具有奇偶性函数的图象性质；

2.掌握判断函数奇偶性的方法；

3.理解掌握函数奇偶性的具体应用。

考向一　函数的奇偶性及图象性质

1．奇函数：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x

，

都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函

数o；奇函数图象关于原点成中心对称.

2．偶函数：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x

，

都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数o

；偶函数图象关于 y轴成轴对称.

3．函数具有奇偶性必备条件：

(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.

(2)判断 f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)+f(-

x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.

1. 【2019 山东潍坊模拟】已知 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x≥0 时f(x)＝3x＋m(m为常数)，

则f(－log35)的值为(　　)

A．4 B．－4

C．6 D．－6

【答案】B

【解析】当 x≥0 时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则 f(0)＝30＋m＝0，则 m＝－1.∴f(x)＝3x－1.∵函

数f(x)是定义在 R上的奇函数，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.

故选 B.

2. 【2020 四川省高三其他（理）】已知定义在 R上的函数满足：，

且函数是偶函数，当时，，则＝（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因为函数是偶函数，所以函数是偶函数，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，所以函数的周期为 4，

所以，

因为，

所以，

故选：C

3. 【2019 临沂三模】已知函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设

h(x)=|f(x+1)|+g(x+1),则下列结论中正确的是 (

)

A. h(x) 的图像关于点 (1,0)对称

B. h(x) 的图像关于点 (-1,0)对称

C. h(x) 的图像关于直线 x=1对称

D. h(x) 的图像关于直线 x=-1对称

【答案】D

【解析】设 t=x+1,则x=t-1,h(x)=|f(x+1)|+g(x+1)等价于 h(t-1)=|f(t)|+g(t),

因为 h(-t-1)=|f(-t)|+g(-t)=|-f(t)|+g(t)=|f(t)|+g(t)=h(t-1),

所以 h(x)的图像关于直线 x=-1对称.

故选 D.

考向二　函数的奇偶性与单调性的综合运用

1. 比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函

数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小;

2. 对于抽象函数不等式的求解,应变形为 f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常

规不等式(如x1<x2或x1>x2)求解.

1. 【2019 甘肃天水月考】已知 f(x)＝，则下列正确的是(　　)

A．奇函数，在 R上为增函数

B．偶函数，在 R上为增函数

C．奇函数，在 R上为减函数

D．偶函数，在 R上为减函数

【答案】A

【解析】定义域为 R，∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵ex是R上的增函数，－e－x也

是R上的增函数，∴是 R上的增函数，

故选 A.

2. 【2020 辉县市第二高级月考】已知定义域为的函数在单调递增，且

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