《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第13节 点乘双根法-解析版
第13 节 点乘双根法
知识与方法
1．预备知识（二次函数的两根式）：一般地，设 ，若一元二
次方程 有两根 和 ，则必有 ，
即.
2．点乘双根法：若我们将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于 x的一元二次方程
，并且假设该方程的两根为 和 ，现在我们要计算
这个量，此时当然可以将其展开，利用韦达定理来进行计算，但更简单的操作方法是利用
二次函数的两根式，得出 ，并在两端同时令 ，即可得到
，从而 ，这样就求出了我们想要的
量，这种技巧叫做“点乘双根法”，其一般的步骤是“化两根式→赋值→求得结采”.
典型例题
【例题】已知抛物线 的焦点为 F， 为抛物线 E上一点，
（1）求 p和 的值；
（2）过 F作两条互相垂直的直线与抛物线 E交于另外两点 B和C，证明：直线 过定点.
【解析】（1）由题意， ，解得： ，所以抛物线 C的方程为 ，
将 代入 得： ，又 ，所以 .
（2） 解 法 1： 显 然 直 线 不 与 坐 标 轴 垂 直 ， 可 设 其 方 程 为 ， 设
， ， 易 得 直 线 和 斜 率 均 存 在 ， 因 为 ， 所 以
，从而 ①，联立 消去 x整理得：
②，
因为 和 是方程②的两根，所以 ，
令 得： ，所以
代 入 式 ① 得 ： ， 所 以 ， 故 直 线 的 方 程 为 ， 即
，所以直线 过定点 .
解法 2：显然直线 不与坐标轴垂直，可设其方程为 ，设 ，
，联立 ，消去 x整理得： ①，
则 和 是方程①的两根，所以 ，
令 得： ，所以
联立 消去 y整理得： ②，
则 和 是方程②的两根，所以
令 得： ，所以 ，
由（1）知点 A的坐标为 ，所以 ， ，
由题意， ，所以 ，
从而
整理得： ，所以 或 ，
若 ，则直线 的方程为
即 ，显然直线 过点 A，不合题意，
所以 ，从而直线 的方程为 ，
即 ，故直线 过定点 .
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