《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第七章 第1节 点关于直线的对称问题-解析版

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第7章 直线与圆
第1节 点关于直线的对称问题
知识与方法
1.如右图所示，已知点 和直线 ，求 P关于直线 l的对称点
这类问题，通常可以设 的坐标为 ，利用 的中点在对称轴 l上，以及 来
建立方程组，求解 a和b.
2.技巧：当对称轴直线的斜率是 时，可直接由对称轴方程将 x、y反解出来，再将点
P的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.
典型例题
【例题】已知点 ，则 A关于直线 的对称的点 的坐标为_______.
【解析】如图，设 ，则 的中点为 ，
点G在直线 上，所以 ①，
又 ，所以 ②，
联立①②可解得： ， ，所以点 的坐标为 .
【答案】
变式 1 已知点 ，则：
（1）点 A关于直线 对称的点 的坐标为_______；
（2）点 A关于直线 对称的点 的坐标为_______；
【解析】（1） ，将点 A的坐标代入这两个式子的右侧可得 ，
所以 ；
（2） ，点 A的坐标代入这两个 式子的右侧可 得 ， 所以
.
【答案】（1） ；（2）
【反思】当对称轴的斜率为 时，可以使用小技巧来求对称点的坐标，若斜率不是 ，
则不能这样做.
变式 2 已知直线 和点 ， ，点 P在直线 l上，则 的
最小值为_______.
【解析】如图，
将点 A的坐标代入这两个式子的右侧可得 ，
所以 A关于直线 l的对称点为 ，
由图可知 ，从而 ，故当 P为线段 与直线 l交点时，
最小，且最小值为 .
【答案】
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