第08讲 拓展一：分离变量法解决导数问题 (精讲+精练）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问
题(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数 范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
高频考点二：已知零点个数求解参数 范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）
1、分离变量法
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转
化为 这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与
动直线 的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；
②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2、分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
3、常见题型 1：恒成立/存在问题求解参数 范围
核心知识点：将 与 0的大小关系转化成 和 的大小关系
①恒成立
②恒成立
③恒成立
④恒成立
4、常见题型 2：已知零点个数求解参数 范围
核心知识点：
将 转化成 ，应用导数方法绘制 函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要
用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.
1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数 在区间 上只有一个零点，则常数 的取值范
围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
令 ，则 ，
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
因为函数 在区间 上只有一个零点
则函数 与函数 的图像只有一个交点
又 ，
在 上单调递增，
则
故选：C.
2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是_
________
【答案】
由题意该函数的定义域 ，由 ．因为存在垂直于 轴的切线，故此时斜率为 ，问题转
化为 范围内导函数 存在零点．
解法 1 （图像法）再将之转化为 与 存在交点．当 不符合题意，当 时，如图
1，数形结合可得显然没有交点，当 如图 2，此时正好有一个交点，故有 应填 .
解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 在 内有解，显然可得
3．（2015·浙江金华·高二期中（理））若 对 恒成立，则实数 的取值范围是：____
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