高考数学(文)解题技巧归纳(圆锥曲线与方程) 专题02 圆锥曲线中面积的最值问题分析（文）（解析版）

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专题 02 圆锥曲线中面积的最值问题分析
溯本求源
来源：北师大版高中数学必修五第 48 页，给出如下三角形的面积公式：
评 析 ： 为 以 后 使 用 方 便 ， 在 中 ， 设
⃗
AB=( x1, y1)
，
⃗
AC=( x2, y2)
， 则
．
流金岁月
变式：(2015 上海高考节选)已知椭圆
x2+2y2=1
，过原点的两条直线
l1
和
l2
分别于椭圆交于
A
、
B
和
、
D
，记得到的平行四边形
ABCD
的面积为
S
．设 ， ，用 、 的坐标表
示点 到直线 的距离，并证明 ．
【答案】见解析．
【解析】直线 ，点 到 的距离 ．
，所以 ．
审思明辨
变式：已知椭圆
C
：
x2
a2+y2
b2=1
(a>b>0)
，
F
为椭圆
的右焦点，
O
为坐标原点，直线
l
过点
F
与椭圆
C
交于
A
，
B
两点．求证：
（1）当
e∈(
√
2
2,1)
时， ，当且仅当直线斜率
k=±
√
b2
c2−b2=
√
1−e2
2e2−1
时，
；
（2）当 时， ，当且仅当直线斜率不存在时， ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设
A(x1, y1)
，
B(x2, y2)
，
AB
直线
l:x=my+c
．
alignl由
{
x2
a2+y2
b2=1¿¿¿¿
得
(b2m2+a2)y2+2b2cmy−b4=0
，所以 ，
故 ．
，令
t=
√
m2+1
，则
t≥1
．
，
对于函数
y=b2t+c2
t
，由
y'=b2−c2
t2=b2t2−c2
t2
．
得函数
y=b2t+c2
t
于
(0,c
b)
单调递减，于
(c
b，+∞)
单调递增，又
t≥1
．
当
c
b≥1
时，即 ，
y=b2t+c2
t≥2bc
，得 ，
{
t=
√
m2+1=c
b¿¿¿¿
当且仅当直线斜率
k=±
√
b2
c2−b2=
√
1−e2
2e2−1
时， ．
（2）当
c
b<1
时，即
e∈(0,
√
2
2)
，
y=b2t+c2
t≥b2+c2=a2
，得 ．
当且仅当
t=
√
m2+1=1
，
m=0
，即直线斜率不存在时， ．
【名师点评】圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，首先换元法，简化代数结构，然后根据函数的特
征选用导数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．
经典赏析
【例 1】（2019 全国 II 理21）已知点 A(−2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与BM 的斜率之积为−
1
2
．记 M的轨迹为曲线 C．
（1）求 C的方程，并说明 C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 C于P，Q两点，点 P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为 E，连结 QE 并延长
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