专题04 【大题限时练4】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 04 大题限时练 4
1．设
ABC
的内角
A
，
B
，
C
所对的边长分别为
a
，
b
，
c
且
cos 1a B
，
sin 2b A
．
（1）求
sin( )A C
和边长
a
；
（2）当
2 2
b c
取最小值时，求
ABC
的面积．
【答案】（1）
2 5
sin( ) sin( ) sin 5
A C B B
 
，
5a
；（2）
1
2
【详解】（1）由正弦定理及
cos 1a B
与
sin 2b A
得：
2 sin cos 1R A B
，
2 sin sin 2(R B A R
是
ABC
的
外接圆半径），
两式相除，得
1 cos
2 sin
B
B
，
设
cos B k
，
sin 2B k
，
B
是
ABC
的内角，
sin 0B 
，
0k 
，
2 2
sin cos 1B B 
，
5
5
k
，
5
cos 5
B
，
2 5
sin 5
B
，
将
5
cos 5
B
代入
cos 1a B
，得
5a
，
2 5
sin( ) sin( ) sin 5
A C B B
 
；
（2）由（1）及余弦定理知
2 2 2 2
2 cos 5 2b a c ac B c c    
，
2 2 2 2
1 9 9
2 2 5 2( )
2 2 2
b c c c c   …
，
当且仅当
1
2
c
时，
2 2
b c
取得最小值
9
2
，
1 1 1 2 5 1
sin 5
2 2 2 5 2
ABC
S ac B
 
，
2 2
b c 
最小时
ABC
的面积为
1
2
．
2．数列
{ }
n
a
中，
2
7a
且
*
2 4 ( )
n n
S na n n N 
，其中
n
S
为
{ }
n
a
的前
n
项和．
（1）求
{ }
n
a
的通项公式
n
a
；
（2）证明：
*
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 ( )
3 9 3
n
n N
a a a a n
 
．
【答案】（1）见解析；（2）
4 3( 1) 3 1
n
a n n 
；
【详解】（1）由
2 4
n n
S na n 
，取
1n
，有
1 1
2 4a a 
，得
14a
，
当
2n…
时，
1 1
2 ( 1) 4( 1)
n n
S n a n
 
 
，
两式相减得
1
2 ( 1) 4
n n n
a na n a
 
，
即
1
( 2) ( 1) 4 0( 2)
n n
n a n a n
  …
，
1 2
( 3) ( 2) 4 0( 3)
n n
n a n a n
 
  …
，
两式再相减得
1 2
( 2) (2 4) ( 2) 0
n n n
n a n a n a
 
 
，
即
2 1
2 ( 3)
n n n
a a a n
 
  …
，
{ }
n
a
为等差数列，又
2 1
7 4 3d a a   
，
则
4 3( 1) 3 1
n
a n n 
；
证明：（2）要证
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1
3 9 3
n
a a a a n
 
，
即证
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
...
4 7 10 (3 1) 3 9 3n n
 
 
，
2
1 1 1 1 1
( )
(3 1) (3 2)(3 1) 3 3 2 3 1n n n n n
 
 
，
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... (1 ... )
4 7 10 (3 1) 3 4 4 7 3 2 3 1n n n
      
 
1 1 1 1
(1 )
3 3 1 3 9 3n n
 
 
．
故
*
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 ( )
3 9 3
n
n N
a a a a n
 
．
3． 如 图 ， 在 四 棱 锥
P ABCD
中 ， 四 边 形
ABCD
为 直 角 梯 形 ，
/ /AD BC
，
90ABC  
，
2 2 4AD BC AB  
，
PAD
为等边三角形，
E
为
PD
的中点，直线
AB
与
CE
所成角的大小为
45
．
（1）求证：平面
PAD
平面
ABCD
；
（2）求平面
PAB
与平面
PCD
所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
42
7
【详解】（1）证明：取
AD
中点
O
，连接
OC
、
OP
、
OE
，
因为四边形
ABCD
为直角梯形，
/ /AD BC
，
90ABC  
，
2 2 4AD BC AB  
，
所以
OC AD
，四边形
ABCO
是边长为 2的正方形，
因为
PAD
为等边三角形，
E
为
PD
的中点，
4AD
，
所以
12
2
OE PD 
，
因为直线
AB
与
CE
所成角的大小为
45
，
/ /OC AB
，所以
45OCE  
，
又因为
2OC OE 
，所以
45OEC OCE  
，于是
OC OE
，
因为
OE AD O
，
OE
、
AD
平面
PAD
，所以
OC
平面
PAD
，
又因为
OC
平面
ABCD
，所以平面
ABCD
平面
PAD
，
故平面
PAD
平面
ABCD
．
（2）解：由（1）知
OC
、
OD
、
OP
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
(0AP

，2，
2 3)
，
(2AB
，0，
0)
，
(0DP

，
2
，
2 3)
，
(2DC

，
2
，
0)
，
设平面
PAB
和平面
PCD
的法向量分别为
(m x
，
y
，
)z
，
(n u
，
v
，
)w
，
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