专题2-2 中心对称、轴对称和周期性归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

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专题 2-2 中心对称、轴对称与周期性归类
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 中心对称性质 1几个复杂的奇函数...............................................................................................1
【题型二】 中心对称 2：与三角函数结合的中心对称...................................................................................2
【题型三】 轴对称...............................................................................................................................................2
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性..................................................................................................3
【题型五】 画图技巧：放大镜函数..................................................................................................................4
【题型六】 利用对称解决恒成立和存在问题..................................................................................................5
【题型七】 函数中的整数问题..........................................................................................................................6
二、最新模考题组练.....................................................................................................................................................7
【题型一】 中心对称性质 1：几个复杂的奇函数
【典例分析】
已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.若 满足 ，则 关于 中心对称
2.
3.
【变式演练】
1.对于定义在 上的函数 ，点 是 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意 都有
，判断函数 的对称中心______.
2.设函数 ，若 ， 满足不等式 ，则当 时，
的最大值为
A．B．C．D．
3.已知函数 ，若 ，其
中 ，则 的最小值为
A．B．C．D．
【题型二】 中心对称性质 2：与三角函数结合的中心对称
【典例分析】
已知函数 与 在 （ ，且 ）上有 个交点 ， ，……，
，则
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适 。
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它
与坐标轴交点，或则别的合适的点
【变式演练】
1.函数 在 上的所有零点之和等于______.
2.若关于 的函数 的最大值为 ，最小值为 ，且 ，则
实数 的值为___________．
3.已知函数 ，若不等式 对任意 均成
立，则 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型三】 轴对称
【典例分析】
已知函数 有唯一零点，则负实数 （ ）
A． B． C． D． 或
【提分秘籍】
基本规律
1.函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别
地当 时，函数 关于直线 对称；
2.如果函数
y=f
(
x
)
满足
f
(
a+x
)
=f
(
a−x
)
，则函数
y=f
(
x
)
的图象关于直线
x=a
对称.
3.
y=f(a−x)
与
关于直线
x=a+b
2
对称。
【变式演练】
1.已知函数 在区间 的值域为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2.已知函数 f（x）（x∈R）满足 f（x）=f（a-x），若函数 y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为
（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且 =2m，则 a=（　　）
A．1B．2C．3D．4
3.已知函数 ，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有
①函数 是周期函数；
②函数 既有最大值又有最小值；
③函数 的定义域为 ，且其图象有对称轴；
④对于任意的 ， （ 是函数 的导函数）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
【典例分析】
已知函数
f(x)
为定义域为
R
的偶函数，且满足
f(1
2+x)=f(3
2−x)
，当
x∈[−1，0]
时，
f(x)=−x
.若函数
F(x)=f(x)+ x+4
1−2x
在区间
[−9，10]
上的所有零点之和为__________．
【提分秘籍】
基本规律
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期 T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴 x=a 与x=b，则函数具有周期性，周期 T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴 x=b，，则函数具有周期性，周期 T=4|a-b|。
【变式演练】
1.定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上单调递减，若方程 在 上有实
数根，则方程 在区间 上所有实根之和是（ ）
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