专题02 双曲线及其性质-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）

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专题 02 双曲线及其性质

一、双曲线的定义

1．平面内到两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．

这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．

2．关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以

F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动

点轨迹不存在．

3．若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．

4．若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段

F 1F2

的中垂线．

二、双曲线的标准方程

1．双曲线两种形式的标准方程

焦点所在的坐标轴 x轴y轴

标准方程－＝1( a >0 ， b >0) －＝1( a >0 ， b >0)

图形

焦点坐标 F1( － c ,0) ， F 2( c ,0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c )

a，b，c的关系式 a 2

＋ b 2

＝ c 2

2.焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走” ，

若x2项的系数为正，则焦点在 x

轴上；若 y2项的系数为正，则焦点在 y

轴上．

3．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．

4．标准方程中的两个参数 a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的

b2＝c 2

－ a 2

与椭圆中的 b2＝a 2

－ c 2

相区别．

三、双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线

标准方程－＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)

图形

性质

范围 x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R

对称性

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点坐标 A1( － a ,0) ， A 2( a ,0) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a )

实轴和虚轴线段 A1A2叫作双曲线的实轴；线段 B1B2叫作双曲线的虚轴

渐近线 y＝±x y＝±x

离心率 e＝，e(1∈，＋∞)

四、双曲线的离心率

双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，记为 e＝，其取值范围是(1 ，＋∞ ) ．e越大，

双曲线的张口越大．

五、等轴双曲线的概念和性质

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：

（1）方程形式为；

（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；

（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率．

技巧 1 求双曲线的标准方程

例1、求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)a＝4，经过点 A；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．

考点　双曲线的标准方程的求法

题点　待定系数法求双曲线的标准方程

解　(1)当焦点在 x轴上时，

设所求标准方程为－＝1(b>0)，

把A点的坐标代入，得 b2＝－×<0，不符合题意；

当焦点在 y轴上时，

设所求标准方程为－＝1(b>0)，

把A点的坐标代入，得 b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，

∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴解得

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

点睛：

求双曲线方程的方法

(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．

(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在 x轴上和焦点在 y轴上进行分类讨论．

技巧 2 由双曲线的简单性质求标准方程

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