圆锥曲线二级结论（2）讲义-2022届山东省高考数学二轮复习

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四、焦点弦
【知识讲解】
1.1 椭圆焦半径公式（2）
已知直线
l
过左焦点
F1
与椭圆交于
A , B
两点，设
∠AF1F2=α
，则焦半径
|AF|= b2
a−c⋅cos α
，
|BF|= b2
a+c⋅cos α
，
1
|AF|+1
|BF|=2a
b2
1.2 椭圆焦点弦长公式：
，最长焦点弦为长轴，最短
焦点弦为通径。
2.1 双曲线焦半径公式（2）
已知直线
l
过左焦点
F1
与双曲线交于
A , B
两点，设
∠AF1F2=α
，则焦半径
|AF|= b2
a−c⋅cos α
，
|BF|= b2
a+c⋅cos α
，
1
|AF|+1
|BF|=2a
b2
2.2 双曲线焦点弦长公式：
|AB|=|AF|+|BF|= 2ab2
a2−c2
⋅cos2α
3 焦点弦定理
已知焦点在
x
轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点
F
的直线交曲线于
A , B
两点，直线
AB
的倾斜角为
θ
，
⃗
AF=λ
⃗
FB
，则曲线的离心率满足等式：
|ecos θ|=| λ−1
λ+1|
【典型例题】
1. 已知椭圆
x2
4+y2
3=1
，直线
l1:x+y−1=0
，
l2:x+y+1=0
与椭圆分别交于
A , B
和
C , D
，则
|AB|+|CD|
的值为（ ）。
2. 已知椭圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的离心率为
√
3
2
，过右焦点
F
且斜率为
k
(k>0)
的直
线与椭圆交于
A , B
两点。若
⃗
AF=3
⃗
FB
，则
k
的值为（ ）。
【变式训练】
1. 已知双曲线
x2
a2−y2
b2=1(a>0, b>0)
的右焦点为
F
，过
F
且斜率为
√
3
的直线交双曲线
于
A , B
两点，若
⃗
AF=4
⃗
FB
，则双曲线的离心率为（ ）。
2. 设椭圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的右焦点为
F
，过点
F
的直线
l
与椭圆相交于
A , B
两点，
直线
l
的倾斜角为
60 °
，
⃗
AF=2
⃗
FB
。
（1）求椭圆的离心率；
（2）如果
|AB|=15
4
，求椭圆的方程。
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