专题13 立体几何中点到面的距离问题（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

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专题13：立体几何中点到面的距离问题（解析版）
1．已知四边形 是梯形（如图甲）， ， ， ，
， 为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的
位置（如图乙），且 ．
甲 乙
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接 ，取 的中点 ，连接 ， ， 可得 ， ，
进而可得 平面 ，又 平面 ，可得平面 平面 ；
（2）设点 到平面 的距离为 ，利用等体积法 进行转化计算即
可得解.
【详解】
（1）连接 ，因为 ， ， ， 为 的中点，
，所以四边形 是边长为 2的正方形，且 ，
取 的中点 ，分别连接 ， ，
因为 ，所以 ， ，且 ，
，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）由（1）知， 平面 ， 为正三角形且边长为 2，
设点 到平面 的距离为 ， ，
则 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
故点 到平面 的距离为 ．
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查点面间的距离求法，考查逻辑思维能力和计算能力，
考查空间想象能力，属于常考题.
2．如图，三棱柱 中，底面 为等边三角形， 平面 ，且
，点 为 的中点，点 为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由等边三角形的性质可知 ，由线面垂直的性质定理可知 ；
再结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；
（2）取 的中点 ，连接 ，由线面垂直的判定定理可证得 面 ，
即三棱锥 的高为 ；易知 ，故 ， ，
以便求 的面积；设点 到平面 的距离为 ，由等体积法
，解出 的值即可.
【详解】
证明：（1） 底面 为等边三角形，且 为 的中点， .
面 ， 面 ， ，
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