专题10 立体几何中的体积问题（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

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专题 10：立体几何中的体积问题（解析版）
⑴ 圆柱侧面积；
S侧面=2π⋅r⋅l
⑵圆锥侧面积：
S侧面=π⋅r⋅l
⑶ 圆台侧面积：
S侧面=π⋅r⋅l+π⋅R⋅l
V柱体=S⋅h
V锥体=1
3
S⋅h
球的表面积和体积
S球=4πR2，V球=4
3
πR3
.
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 　
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中
点.
（1）求证： ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理，可得 ，结合 ，根据线面垂直的判定定理以及性
质定理，可得结果.
（2）计算 ， ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.
【详解】
（1）∵三棱柱 是直三棱柱，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴.
（2）∵ 是 中点，
∴ ，
∵ 平面 ， ，
∴.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线
段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.
2．如图所示：在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
且 ， 分别为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）详见解答；（2） .
【分析】
（1）由已知可得 ，再由面面垂直定理可得 平面 ，即可证明结论；
（2） 平面 ，用等体积法求三棱锥 的体积.
【详解】
（1） 为 中点， ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，
平面 平面 ；
（2） 且 ， 分别为 的中点，
，
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