解密03 等差数列与等比数列（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 03 等差数列与等比数列

A组考点专练

一、选择题

1.在正项等比数列{an}中，若 a5－a1＝15，a4－a2＝6，则 a3＝(　　)

A.2 B.4 C. D.8

【答案】B

【解析】设数列{an}的公比为 q.

由已知得即＝，解得 q＝或 q＝2.当q＝时，a1＝－16，不符合题意；当 q＝2时，a1＝1，所以 a3＝a1q2＝4，

故选 B.

2．一个等比数列的前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列的项数是(　　)

A．13 B．12

C．11 D．10

【答案】　B

【解析】设等比数列为{an}，其前 n项积为 Tn，由已知得 a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，

可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，

∵Tn＝a1a2…an，∴T＝(a1a2…an)2＝(a1an)(a2an－1)…(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，

∴n＝12.

3.(多选题)已知 Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前 n项和，且 S5>S6>S4.下列四个命题正确的是(　　)

A.数列{Sn}中的最大项为 S10

B.数列{an}的公差 d<0

C.S10>0

D.S11<0

【答案】BCD

【解析】因为 S5>S6>S4，所以 a6<0，a5>0 且a5＋a6>0，所以数列{Sn}中的最大项为 S5，A错误；数列{an}的

公差 d<0，B正确；S10＝＝5(a5＋a6)>0，C正确；S11＝＝11a6<0，D正确.故选 BCD.

4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除

问题：将 1到2 020 这2 020 个数中，能被 3除余 1且被 4除余 1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数

列{an}，则此数列的项数为(　　)

A.167 B.168 C.169 D.170

【答案】C

【解析】由题意得，能被 3除余 1且被 4除余 1的数就是能被 12 除余 1的数，所以

an＝12n－11，n∈N*，由 an≤2 020，得 n≤169.因为 n∈N*，所以此数列的项数为 169.

5.(多选题)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，公差 d≠0，且≤1.记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下列

等式可能成立的是(　　)

A.2a4＝a2＋a6 B.2b4＝b2＋b6

C.a＝a2a8 D.b＝b2b8

【答案】ABC

【解析】由题意，知 b1＝S2＝a1＋a2，bn＋1＝S2n＋2－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2，

可得 bn＝a2n－1＋a2n(n＞1，n∈N*).

由为等差数列，可知为等差数列.

选项 A中，由 a4为a2，a6的等差中项，得 2a4＝a2＋a6，成立.

选项 B中，由 b4为b2，b6的等差中项，得 2b4＝b2＋b6，成立.

选项 C中，a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，a8＝a1＋7d.

由a＝a2a8，可得(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，

化简得 a1d＝d2，又由 d≠0，可得 a1＝d，符合≤1，成立.故A，B，C均符合题意要求，

b2＝a3＋a4＝2a1＋5d，b4＝a7＋a8＝2a1＋13d，

b8＝a15＋a16＝2a1＋29d.

由b＝b2b8，知(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)(2a1＋29d)，

化简得 2a1d＝3d2，又由 d≠0，可得＝.

这与已知条件≤1矛盾.D 错.

二、填空题

6.已知等差数列{an}的公差不为 0，a1＝1，且 a2，a4，a8成等比数列，设{an}的前 n项和为 Sn，则 Sn＝

________.

【答案】(n∈N*)

【解析】设等差数列{an}的公差为 d.

∵a2，a4，a8成等比数列，

∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)·(a1＋7d)，

∴(1＋3d)2＝(1＋d)·(1＋7d)，

解得 d＝1或d＝0(舍)．

∴Sn＝na1＋d＝(n∈N*)．

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