第四节 平面向量的综合应用(题型考点分析)-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

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题型考点分析　第四节 平面向量的综合应用
【考点一】 平面向量与三角函数相结合的问题
【典型例题 1】
已知两个不共线的向量 a，b满足 a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈R．
(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)当θ∈时，若存在两个不同的 θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数 m的取值范围．
【解析】　(1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又 2a－b与a－7b 垂直，所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝
0，所以 a·b＝1．
所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝．
(2)由|a＋b|＝|ma|，得|a＋b|2＝|ma|2．
即|a|2＋2 a·b＋3|b|2＝m2|a|2，
即4＋2a·b＋3＝4m2，7＋2(cos θ＋sin θ)＝4m2．
所以 4sin＝4m2－7．
由θ∈，得 θ＋∈，
因为存在两个不同的 θ满足题意，所以数形结合知 4sin∈[6，4)，即 6≤4m2－7＜4，即≤m2＜，又 m＞
0，所以≤m＜．
即实数 m的取值范围为．
【答案】 (1) (2)
【归纳总结】 平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函
数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向
量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
【考点二】 平面向量与解三角形相结合的问题
【典型例题 2】
(2020·金华十校联考)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量 m
＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且 m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角 B的大小及向量BA在BC方向上的投影．
【解析】　(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以 cos A＝－.
因为 0<A<π，所以 sin A＝＝ ＝.
(2)由正弦定理，得＝，则 sin B＝＝＝，因为 a>b，所以 A>B，则 B＝，由余弦定理得＝ 52＋c2－
2×5c×，解得 c＝1.
故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝.
【答案】 (1) (2)
【考点三】 平面向量与解三角形、数列相结合的问题
【典型例题 3】
已知在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(sin A，sin
B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角 C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求 c.
【解析】　(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C，0<C<π，所以 sin(A＋B)＝sin C，
所以 m·n＝sin C，又 m·n＝sin 2C，
所以 sin 2C＝sin C，cos C＝，又因为 C∈(0，π)，所以 C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得 2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得 2c＝a＋b.因为CA·(AB－AC)＝18，所以CA·CB＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以 c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以 c＝6.
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