查补易混易错点05 空间向量与立体几何（解析版）-【查漏补缺】2022年高考三轮冲刺过关

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查补易混易错点 05 空间向量与立体几何
1．立体几何初步
（1）基本立体图形
① 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特
征描述现实生活中简单物体的结构。
② 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。
③ 能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。
（2）基本图形位置关系
① 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置
关系的定义，了解以下基本事实（基本事实 1~4 也称公理）和定理。
基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行。
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
② 从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面
与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明。
③ 从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面
与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。
④ 能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。
2．空间向量与立体几何
（1）空间直角坐标系
① 在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角
坐标系刻画点的位置。
② 借助特殊长方体（所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标。
（2）空间向量及其运算
① 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
② 经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
（3）向量基本定理及坐标表示
STEP01 课标解读
① 了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
④ 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例 9）。
（4）空间向量的应用
① 能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。
② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。
③ 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。
④ 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题 ，
并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
空间向量与立体几何基本是高考的必考题，在 2021 年的新高考全国卷Ⅰ中考查了 3 道，分别为第 3 题，第
12 题和第 20 题；其中第 3 题较为简单，主要考查了圆锥中截面的有关计算；第 12 题较难，属于压轴题，
主要考查了空间向量数量积的求解；解答题中的第 20 题难度一般，主要考查了锥体体积的有关计算问题。
易错点 01 不会将三视图还原为几何体
在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为
实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合
考虑。
易错点 02 对斜二测法规则掌握不牢
由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；
③“长度规则”——图形中平行于 x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y轴的线段，长度减为
原来的一半。对此考生常见的错误有①不会建新坐标系 ，②不会用“倒过去”的方法还原几何体，
③“位置规则”和“长度规则”不清楚。
易错点 03 空间点、线、面位置关系不清
空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题
型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的
STEP02 高考直击
STEP03 易混易错归纳
判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，
考虑问题全面细致。
易错点 04 平行关系定理使用不当
证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。如在证明直线
a//平面 α时，不能忽略直线 a在平面 α 外。证明有关线线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件
书写规范，推理严谨。
易错点 05 　垂直关系定理使用不当
证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的
直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂
直的目的。
易错点 06 利用空间向量求线面角几种常见错误
若直线与平面所成的角为
θ
，直线的方向向量为
a
，平面的法向量为
n
，则 sin
θ
=|cos<
a
,
n
>|。容易出
错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法
向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。
易错 07 二面角概念模糊
若两个平面的法向量分别为
a
，
b
，若两个平面所成的锐二面角为
θ
，则 ；若两个平
面所成二面角为钝角，则 。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法向量及其
夹角，然后视二面角的大小而定。
利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的
直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有①不会将空间问题
转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使用定理出错，⑤书写不规范。
【真题演练】
1．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
STEP04 真题好题演练
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