2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第11讲 阿基米德三角形问题（解析版）

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第11 讲 阿基米德三角形问题
一、解答题
1．设定点 F(0，1)，动点 E满足：以 EF 为直径的圆与 x轴相切.
（1）求动点 E的轨迹 C的方程；
（2）设 A，B是曲线 C上的两点，若曲线 C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.
【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设 E点坐标为(x，y)，由 E到x轴的距离等于 即可求解.
（2）设 A，B两点的坐标分别为 ， ，利用导数求出曲线在 A，B处切线的斜率，从而
可得 x2＝－ ，再求出 的斜率，证出 kAF＝kAB，即证.
【详解】
（1）设 E点坐标为(x，y)，则 EF 中点为圆心，
设为 E，则 E点坐标为 .
∴E到x轴的距离等于 ，
即 ＝ ，化简得 x2＝4y.
∴点 E的轨迹 C的方程为 x2＝4y.
（2）证明：由（1）知，曲线 C是以 F为焦点的抛物线，其方程可化为 y＝x2，
设A，B两点的坐标分别为 ， ，
∵曲线方程为 y＝x2，∴y′＝x，
∴曲线在 A，B处切线的斜率分别为 k1＝x1，k2＝x2，
∵k1k2＝－1，∴ x1·x2＝－1，∴x2＝－ ，
∴A，B两点连线的斜率为
kAB＝ ＝－ ＋ x1，
A，F两点连线的斜率为 kAF＝ ＝－ ＋ x1＝kAB，
∴A，B，F三点共线.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了三点共线，可以证明直线的斜率相等，解题的关键是根据 A，B两点的坐标求出
x2＝－ ，考查了计算求解能力.
2．如图，已知抛物线 的焦点为 F过点 的直线交抛物线于 A，B两点，直
线AF，BF 分别与抛物线交于点 M，N ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）记直线 MN 的斜率为 ，直线 AB 的斜率为 证明： 为定值
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）依题意，设直线
AB
的方程为
x=my +2(m≠ 0)
，与抛物线方程联立消
x
得关于
y
的一元
二次方程，根据韦达定理即可求得
y1y2
；（Ⅱ）设
，设直线 AF：
y=y1
x1−1(x−1)
与
y2=4x
联立，得
y1
4y2+(1−x1)y−y1=0
,由韦达定理得，
y1yM=−4⇒yM=−4
y1
，同
理，
yN=−4
y2
，进而可得 的比值，化简即可求出结果为定制．
试题解析：证明：（Ⅰ）依题意，设直线
AB
的方程为
x=my +2(m≠ 0)
．将其代入 ，消去
x
，整
理得
y2−4my−8=0
．从而
y1y2=−8
．
（Ⅱ）AF：
y=y1
x1−1(x−1)
与
y2=4x
联立，得
y1
4y2+(1−x1)y−y1=0
由韦达定理得，
y1yM=−4⇒yM=−4
y1
，同理，
yN=−4
y2
k1
k2
=
4
yM+yN
4
y1+y2
=y1+y2
yM+yN
=−y1y2
4=2
（定值）．
考点：1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线的性质．
3．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0），直线 l交C于A，B两点，且 A，B两点与原点不重合，点
M（1，2）为线段 AB 的中点．
（1）若直线 l的斜率为 1，求抛物线 C的方程；
（2）分别过 A，B两点作抛物线 C的切线，若两条切线交于点 S，证明点 S在一条定直线上．
【答案】（1）x2＝2y（2）证明见解析
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