-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题25 解三角形的综合应用(基础训练)(解析版)

3.0 envi 2025-03-07 43 4 145.08KB 7 页 3知币

侵权投诉

专题 25 解三角形的综合应用

[基础题组练]

1．已知 A，B两地间的距离为 10 km，B，C两地间的距离为 20 km，现测得∠ABC＝120°，则 A，C两地

间的距离为(　　)

A．10 km　　　　　　 B．10 km

C．10 km D．10 km

解析：选D.由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700.

所以 AC＝10(km)．

2．如图，从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B，C的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是 60 m，则河

流的宽度 BC 等于(　　)

A．240(－1) m B．180(－1) m

C．120(－1) m D．30(＋1) m

解析：选C.因为 tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以 BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．

3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方

向的点 A测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B，在 B点测得水柱顶端的仰

角为 30°，则水柱的高度是(　　)

A．50 m B．100 m

C．120 m D．150 m

解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在△ABC 中，∠BAC＝60°，A

C＝h，AB＝100，在Rt△BCD 中，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h

－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是 50 m.

4．已知台风中心位于城市 A东偏北 α(α为锐角)度的 150 公里处，以

公里/小时沿正西方向快速移动，2.5

小时后到达距城市 A西偏北 β(β为锐角)度的 200 公里处，若 cos α＝cos β，则 v＝(　　)

A．60 B．80

C．100 D．125

解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos(α＋β)①，由正弦定

理得＝，所以 sin α＝sin β.又cos α＝ cos β，sin2 α＋cos2 α＝1，解得 sin β＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，

故cos(α＋β)＝－＝0，代入①解得 v＝100.

5．地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，

且在两塔底连线的中点 O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　　)

A．50 m，100 m B．40 m，90 m

C．40 m，50 m D．30 m，40 m

解析：选B.设高塔高 H m，矮塔高 h m，在O点望高塔塔顶的仰角为 β.

则tan α＝，tan ＝，

根据三角函数的倍角公式有＝.①

因为在两塔底连线的中点 O望两塔塔顶的仰角互为余角，

所以在 O点望矮塔塔顶的仰角为－β，

由tan β＝，tan＝，得＝.②

联立①②解得 H＝90，h＝40.

即两座塔的高度分别为 40 m，90 m.

6．(2020·河北衡水三模)在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 为边 BC 上的高，点 E满足AD＝3AE，若 AB

＝m，则 BE 的长为________．

解析：因为△ABC 是等腰三角形，∠BAC＝120°，AD⊥BC，所以∠ABC＝30°，∠BAD＝60°，又因为 AB

＝m，所以 AD＝ m，由AD＝3 AE，得AE＝m，在△ABE 中，AB＝m，AE＝m，∠BAE＝60°，

所以由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE ·cos∠BAE＝m2＋m2－2m×m×cos 60°＝m2，所以 BE＝

答案：m

7.如图，在塔底 D的正西方 A处测得塔顶的仰角为 45°，在塔底 D的南偏东 60°的B处测得塔顶的仰角为 30

°，A，B的距离是 84 m，则塔高 CD＝________m.

解析：设塔高 CD＝x m，

则AD＝x m，DB＝x m.

又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，

在△ABD 中，利用余弦定理，得

842＝x2＋(x)2－2·x2 cos 150°，

解得 x＝12(负值舍去)，故塔高为 12 m.

答案：12

8．已知△ABC 中，AC＝，BC＝，△ABC 的面积为，若线段 BA 的延长线上存在点 D，使∠BDC＝，则 CD

＝________．

解析：因为 AC＝，BC＝，△ABC 的面积为＝AC·BC·sin∠ACB＝×××sin∠ACB，所以 sin∠ACB＝，

所以∠ACB＝或，

若∠ACB＝，∠BDC＝<∠BAC，可得∠BAC＋∠ACB>＋>π，与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB＝，

所以在△ABC 中，由余弦定理可得 AB＝＝

＝，

所以 AB＝AC，所以∠B＝，

所以在△BCD 中，由正弦定理可得 CD＝＝＝.

答案：

9．在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求 BC.

解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得＝.

由题设知，＝，

所以 sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，

所以 cos∠ADB＝＝.

(2)由题设及(1)知，

cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD 中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC

＝25＋8－2×5×2×＝25.所以 BC＝5.

10．在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，(2a－c)·cos B－bcos C＝0.

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题25 解三角形的综合应用(基础训练)(解析版).docx

共7页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题25 解三角形的综合应用(基础训练)(解析版)

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: