-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件

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专题 02 命题及其关系、充分条件与必要条件

【考点总结】

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判

断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

① 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；[来源:学科网 ZXXK]

② 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p

p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p

p是q的充要条件 p⇔q[

来源

学

科

网

]

p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q且q⇒p

【常用结论】

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合 A的形式出现，q以集合 B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，

必要条件又可以叙述为：

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若A⊆B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

【易错总结】

(1)命题的条件与结论不明确；

(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；

(3)对充分必要条件判断错误．

例1．命题“若 a2＋b2＝0，a，b∈R，则 a＝b＝0”的逆否命题是________．

答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则 a2＋b2≠0.

例2．已知命题“对任意 a，b∈R，若 ab>0，则 a>0”，则它的否命题是________．

答案：对任意 a，b∈R，若 ab≤0，则 a≤0.[来源:学科网 ZXXK]

例3．条件 p：x>a，条件 q：x≥2.

(1)若p是q的充分不必要条件，则 a的取值范围是________；

(2)若p是q的必要不充分条件，则 a的取值范围是________．

解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，

(1)因为 p是q的充分不必要条件，

所以 AB，所以 a≥2；

(2)因为 p是q的必要不充分条件，

所以 BA，所以 a<2.

答案：(1)a≥2　(2)a<2

【考点解析】

【考点】一、四种命题的相互关系及真假判断

例1．命题“若 x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)

A．若 x2≥1，则 x≥1或x≤－1

B．若－1<x<1，则 x2<1

C．若 x>1 或x<－1，则 x2>1

D．若 x≥1或x≤－1，则 x2≥1

解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”

的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．

例2．有以下命题：

①“若 xy＝1，则 x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；

③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．[来源:学科网 ZXXK]

其中真命题是(　　)

A．①②　　　　　　 B．②③

C．④ D．①②③

解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为

“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若 m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其

逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②

③正确．

例3．已知集合 P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则 x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否

命题中，真命题的个数是(　　)

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