《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题03函数与方程问题（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 03 函数与方程问题
函数与方程思想是高中数学的基本思想之一.通过建立函数关系，用运动和变化的观点，分析和研究数学中
的数量关系，或运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，进而解决问题，是高中数学基本的解题分
析方法之一.函数 y=f(x)也可以看成是二元方程 g(x，y)=0.通过建立方程或方程组，分析数学问题中变量间的
等量关系，或者运用方程的性质去分析、转化问题，进而解决问题，是高中数学又一基本的解题分析方法 .
高考对此也经常以不同的方式进行考查，比如:函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题等.以选择题、
填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注 .本文拟就
此问题做一探索.
1函数零点的个数问题
函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根，也就是函数 f(x)的图像与 x轴交点的横坐标.因此，判断函数 y=f(x)
零点的个数问题，就可以转化为函数 f(x)的图像与 x轴交点的个数问题.当然，如果函数 f(x)的图像不容易画
出，也可以将 y=f(x)变形为 g(x)=h(x)，然后转化为函数 g(x)与h(x)图像的交点个数问题.
例1设f(x)是定义在 R上且周期为 1的函数，且在区间[0 ，1) 内 ， .其中集合 D=
，求方程 f(x)－lgx=0 的解的个数.
思路探求:依题意，方程 f(x)－lgx=0 的解的个数就是方程 f(x)=lgx 的解的个数，自然也就是函数 y=f(x)与函
数y=lgx 的图像交点的个数.那么，如何画出函数 y=f(x)的图像呢?易知 f(x)∈[0，1)故方程 f(x)=lgx 在
[0，1)∪[10，+∞)内没有实数根.因此我们只需考虑方程 f(x)=lgx 在[1，10)内的根的情况.在尝试画函数
y=f(x)的图像时，有一个困难不可避免地摆在我们面前:由于集合 D=中的元素是离散的，
考点命题分析
故函数 y=f(x)的图像无法准确画出.怎么办?我们自然还得从函数 y=f(x)的解析式以及集合 D的特征入手分析.
由于集合 D中的元素都是在区间[0，1)内的有理数(当然不是该区间内的所有有理数)，而有理数的平方也
一定是有理数，所以我们可以从有理数展开探索.
设x∈[1，10)， 且 (依题意，若 x∈
Z
，则 f(x)=0).由于此时 f(x)∈(0，1)，lgx∈(0，1)，所以如果
抛开有理数的限制，函数 y=f(x)与函数 y=lgx 的图像就会有一系列“交点”.然而这些“交点”在 x∈Q的前
提下还是不是“交点”呢?易知此时 f(x)∈Q于是我们只需考虑 lgx 是不是有理数即可.结合有理数的定义，
我们可令 ，其中 p，q∈N*，且 p，q互质.若lgx∈Q，则由于 lgx∈(0，1)，故可设 ，其中
m，n∈N*，且 m，n互质.于是 .此时左边为整数，右边非整数，矛盾.因此， .所
以lgx 不可能与每个周期内 x∈D对应的部分相等.于是我们只需考虑函数 y=f(x)与函数 y=lgx 的图像在每个
周期内 部分的交点的情况.
画出函数草图如图，图中的交点除(1，0)外其他交点横坐标均为无理数，故都属于每个周期 部分.
因此，函数 y=f(x)与函数 y=lgx 的图像在区间[2，10)内共有 7个交点.至此，我们还有最后一个问题需要厘
清:它们在区间[1，2)内有几个交点?由于我们画的只是草图，而当两个函数在同一区间内都是递增的情况下，
它们的交点个数是不确定的.所以我们还需考查函数 y=lgx 在点(1，0)处切线的情况.因为 ，所
以y=gx 在点(1，0)处的导数为 .于是，两个函数在区间[1，2)内有且仅有一个交点.
因此，方程 f(x)－lgx=0 的解的个数是 8.
方法点睛:关于函数零点个数的判断问题，我们一般考虑数形结合.但是本例又有它独有的“创新点”，这
些创新点也就构成了求解本例的几个“障碍点” :其一，集合 中的元素是离散的，
并且是不确定的.此时分析出元素的“有理性”，从而给解题的顺利推进找准了突破口.其二，x∈Q时，lgx
是否为有理数的判断.此时运用有理数的定义进行转化是一种常规操作，也可以很好地揭示有理数的本质，
需要认真领会.其三，两个函数的图像在区间[1，2)内交点个数的判断.尽管可能有很多人会直观得出正确答
案，但是通过求导进行理性分析才能真正弄清问题.
函数零点的个数问题可以转化为两个函数图像交点的个数问题进行高效地求解 .反过来，已知函数零点的个
数，要求参数的取值范围，又该如何求解呢?
例2已知函数 有两个零点，求实数 a的取值范围
思路探求:依题意，函数 f(x)=ae2x+(a－2)ex－x有两个零点，也就意味着函数 f(x)的图像与 x轴有两个交点.由
于f(x)并非我们熟知的 8种基本初等函数，也不能由它们作简单的变换得到，所以要画出 f(x)的图像，需研
究它的一系列性质:单调性(确定图像的大致走向)，极值(确定图像走到什么样的高度开始拐弯)，区间端点
的函数值符号(确定图像从哪儿出发，到哪儿落脚).由于本题还含有参数，故我们先讨论 f(x)的单调性.
易知， .
若a≤0，则 ，f(x)在区间(－∞，+∞)内单调递减；
若a>0，则令 ，得 x=－lna.
由 ，得 x>－lna；由 ，得 x<－lna.
所以 f(x)在区间(－∞，－lna)内单调递减，在区间(－lna，+∞)内单调递增.
由上述f(x)的单调性可知，
(1)若a≤0，则 f(x)至多有一个零点，不满足条件；
(2)若a>0，则 .而这个最小值的符号就直接影响着 f(x)零点的个数.因此，
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