《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题13 创新型问题（解析版）

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专题 13 创新型问题
专题点拨
1.创新型数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验
解决新情境问题或陌生的问题；另一类是发现新问题(或提出新问题)并解决提出的新问题.
不论是哪一类创新型数学问题，都需要强化阅读理解,充分研究问题的条件和结论之间
的联系，运用数学知识方法，发现解题策略，展开充分的数学推理，完成数学问题提出的
研究目标．
2．创新型数学问题常见的问题类型：
(1)构造型问题：一般需要构造不等式、方程、代数式、函数、图形等加以解决的问题；
(2)归纳猜想型问题：通过归纳--猜想---证明实现从特殊到一般的推理论证；
(3)新概念型问题：问题情境给出新定义、新法则(公式、原理)，考察学习者的及时学
习能力，一般需要先理解新概念，再运用新概念解决问题；
存在判断型：这类问题常见的有：①探究给定的结论是否成立；②探究符合条件的数
学对象是否存在；③类比已有结论探索获得的新命题是否成立；
(4)探究性问题：探究一类问题的解题策略，或是探究给定命题是否正确，或可否进一
步推广．
总之，解决创新型数学问题，既需要阅读理解问题情境,也需要综合运用逻辑思维与直
觉思维、演绎推理与合情推理，需要运用特殊与一般、归纳与类比等数学思维方式解决问
题．
例题剖析
【例 1】称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：
x1，x2，…，x5为递增数列，且
xi∈N∗
（i＝1，2，…，5）；数列乙：
y1，y2，y3，y4，y5满足 yi∈{ 1﹣，1}（i＝1，2，…，5）
则在甲、乙的所有内积中（　　）
A．当且仅当 x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝7，x5＝9时，存在 16 个不同的整数，它们同为
奇数
B．当且仅当 x1＝2，x2＝4，x3＝6，x4＝8，x5＝10 时，存在 16 个不同的整数，它们同
为偶数
C．不存在 16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数
D．存在 16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数
【答案】D
【解析】对于 A，取特例 x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5时，此时内积可能为：
{
¿
)
−15 ，−13 ，−11 ，−9，−7，−5，−3，−1，1，3，5，7，9，11 ，13 ，15 ¿
)
16 个都是奇数，所以 A不对，
对 于 B， 取 特 例 x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝6时 ， 此 时 内 积 可 能 为 ：
{
¿
)
−16 ，−14 ，−12 ，−10，−8，−6，−4，−2，2，4，6，8，10 ，12，14 ，16 ¿
)
16 个都是偶数，所以 B不对，
对于 C，由 A，B可知存在 16 个整数，要么同为奇数，要么同为偶数，所以 C不对，
故选：D．
【例 2】已知数列 1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是
20，接下来的两项是 20、21，再接下来的三项是 20、21、22，以此类推，若 N＞100 且该
数列的前 N项和为 2的整数幂，则 N的最小值为（　　）
A．440 B．330 C．220 D．110
【答案】A
【解析】由题意可知：第一项，1＝20；
第二项，20，21；
第三项，20，21，22；
…；
第n项，20，21，22，…，2n1﹣；
根据等比数列前 n项和公式，求得每项和分别为：
211﹣，221﹣，231﹣，…，2n1﹣；
每项含有的项数为：1，2，3，…，n；
总共的项数为 N＝1+2+3+…+n
¿n(n+1)
2
；
所有项数的和为 Sn＝（211﹣）+（221﹣）+（231﹣）+…+（2n1﹣）＝（21+22+23+…+2n）
﹣n
¿2(1−2n)
1−2−
n＝2n+1 2﹣ ﹣n，
由题意可知：2n+1 为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）＝0时，解得 n＝1，总共有
2＝3项，不满足 N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0时，解得 n＝5，总共有
(1+5)×5
2+¿
3＝18 项，不满足 N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0时，解得 n＝13，总共有
(1+13)×13
2+¿
4＝95 项，不满足 N＞
100，
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0时，解得 n＝29，总共有
(1+29)×29
2+¿
5＝440 项，满足 N
＞100，
∴N的最小值为 440．
故选：A．
【 例 3】（2021 秋•宝山区期末）设 ， ，定义运算“△”和“ ”如下：
， ．若正数 ， ， ， 满足 ， ，则
A． △ ， △ B． ， C． △ ，
D． ， △
【解答】解：由运算“△”和“ ”定义知，
表示数 、 比较小的数，
表示数 、 比较大的数，
当 ， 时， △ ，故选项 、 错误；
当 时， ，故选项 错误；
，且 ，
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