《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题26 导数中的同构问题(解析版)

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专题 26 导数中的同构问题
在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：
(1)当a＞0且a≠1 时，有 ，
(2)当a＞0且a≠1 时，有
再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中 x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)
(3) ，
(4) ，
(6) ，
再结合常用的切线不等式： ， ， ， 等，可以得到更多的结论
(7) ， ．
， ．
(8) ，
，
(9) ，
，
1．已知不等式
x+aln x+1
ex>xax对∈
(
1,+∞
)
恒成立，则实数 a的
最小值为（ ）
A.
−
√
e
B.
−e
2
C.
−e
D.
−2e
【解析】
∵x+aln x+1
ex≥xa,∴x+1
ex≥xa−aln x=xa−ln xa∴1
ex−ln
(
1
ex
)
≥xa−ln xa
，
⇒f
(
x
)
在
(
0,1
)
上↑，
(
1，+∞
)
↓
x当>1时， 0<1
ex<1, xa与1的大小不定，但当实数 a最小时，
只需考虑其为负数的情况，
此时 0<xa<1
，
而当 0<x<1时， f
(
x
)
单调递减，故 1
ex<xa,两边取对数得−x<aln x
∴a>− x
ln x
，
令
g
(
x
)
=− x
ln x, g则'
(
x
)
=−ln x+1
ln2x⇒g
(
x
)
在
(
1，e
)
上↑，
(
e ,+∞
)
↓
∴g
(
x
)
≤g
(
e
)
=−e
故
a的最小值是−e.
2．已知对任意给定的
b>0,存在 a≥b使ln a=memb(m>0)成立 ,则实数 m
的取值范围为：　 ．
【解析】
ln a=memb ≥ln b , ∴mbemb≥bln b=(ln b)eln b
当ln b≤0即0<b≤1时，mbemb>0 ,ln b.eln b≤0∴mbemb≥ln b.eln b
显然成立，
当ln b>0b即>1时，构造函数 f
(
x
)
=xex∴f
(
mb
)
≥f
(
lnb
)
显然
f
(
x
)
在
(
0，+∞
)
上单调递增，∴mb≥lnb , m≥ln b
b,
g设
(
b
)
=ln b
b, g '
(
b
)
=1−ln b
b2, g令'
(
b
)
=0⇒b=e⇒g
(
b
)
在
(
1, e
)
上↑，
(
e ,+∞
)
↓
∴g
(
b
)
max=g
(
e
)
=1
e,∴m≥1
e,故实数 m的取值范围为[1
e,+∞)
.
3．若对任意 ，恒有 ，则实数 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，不等式 变形为 .
设 ，则
.
当 时 ，即 在 上单调递减.
当 时 ，即 在 上单调递增.
则 在 上有且只有一个极值点 ，该极值点就是 的最小值点.
所以 ，即 在 上单调递增.
若使得对任意 ，恒有 成立.
则需对任意 ，恒有 成立.
即对任意 ，恒有 成立，则 在 恒成立.
设 则 .
当 时， ，函数 在 上单调递增
当 时， ，函数 在 上单调递减
则 在 上有且只有一个极值点 ，该极值点就是 的最大值点.
所以 ，即 ，则实数 的最小值为 .故选：D
4．若关于 x的不等式 恒成立，则 a的取值范围是______．
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