《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第三章 第4节 倍角三角形定理-解析版
第 4 节 倍角三角形定理
知识与方法
倍角三角形定理：如下图所示，在 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，
则.
典型例题
【例题】在 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 ， ， ，
则______.
【解析】解法 1： ，
将 代入可解得： 或 ，若 ，则 ，从而 ，
结合 可得 ，而显然 ，矛盾，所以 .
解法 2：由倍角三角形定理， ，将 代入可得： ，
解得： .
【答案】4
变式 1 锐角 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 ，且 ，则
的周长的取值范围是_______.
【解析】解法 1：由正弦定理， ，又 ，所以 ， ，
从 而 的 周 长 ， 因 为 ， 所 以
，
由题意， 是锐角三角形，所以 ，从而 ，
故
，
因为 ，所以 ，从而 .
解法 2：由倍角三角形定理， ，将 代入可得 ，
所以 的周长 ①，
由题意， 是锐角三角形，所以 ，从而 ，解得：
，代入①可得 的周长的取值范围是 .
【答案】
变式 2 如图，已知 ， ， ， ，则 ______.
【解析】如图，设 ， ，则 ，在 中， ，
在 中， ，
显然 和 互补，所以 ，
故 ，化简得： ①，
因为 ，且 ，
所以 ，从而 ，
由倍角三角形定理， ，所以 ，
代入式①可解得： 或 （舍去），
从而 ，所以 .
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