《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第9节 双曲线渐近线的几个常用结论-解析版

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第9节 双曲线渐近线的几个常用结论
知识与方法
设双曲线 的焦点分别为 、 ，则有以下结论：
1.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b.
2．如图 1所示，以 为直径的圆与双曲线 C的渐近线在第一象限的交点为 .
3．如图 2所示，过双曲线 C上任意一点 P作C的两条渐近线的平行线，则它们与两条
渐近线所围成的平行四边形 的面积是定值 .
4．如图 3所示，双曲线 C上任意一点 P处的切线与 C的两条渐近线分别交于 A和B
两点，则 P为 的中点，且 的面积为定值 .
5．如图 4所示，A、B分别在双曲线 C的两条渐近线上，D为 的中点，若直线 、
的斜率都存在，则它们的斜率之积为 .
典型例题
【例 1】已知双曲线 的右焦点为 F，则 F到双曲线 C的渐近线的距离为
_______.
【解析】解法 1：由题意，双曲线 C的右焦点为 ，渐近线为 ，即
，从而 F到渐近线的距离 .
解法 2：由题意，双曲线 C的虚半轴长 ，所以 F到双曲线 C的渐近线的距离为 1.
【答案】1
变式 已知双曲线 的右焦点为 F，过 F且与 x轴垂直的直线与双曲线 C
交于 A、B两点，则 A、B两点到双曲线的一条渐近线的距离之和为_______.
【解析】解法 1：由题意， ，直线 的方程为 ，代入双曲线 C的方程可
求得 ，如图，由对称性，不妨设 ， ，双曲线的渐近线为 ，
即 ，不妨考虑渐近线 ，
则A、B两点到该渐近线的距离乙和为 .
解法 2：由题意，双曲线的虚半轴长 ，如图，分别过 A、B、F作其中一条渐近线的垂
线，垂足分别为 I、J、K，由本节的结论 1，点 F到渐近线的距离 ，而显然 是
梯形 的中位线，所以 .
【答案】2
【反思】①梯形中位线的长等于 ；②双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长
b.
【例 2】如下图所示，双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，以 为直径的
圆与双曲线 C的渐近线交于 A、B、D、E四点，则四边形 的面积为_______.
【解析】解法 1：由题意， ， ，双曲线的渐近线为
以 为直径的圆的方程为 ，联立 ，可解得： 或 ，
所以 ，由对称性可得四边形 是矩形，且 ， ，所以四边形
的面积为 .
解法 2：由本节结论 2知点 A的坐标为 ，显然四边形 是矩形，且 ，
，所以四边形 的面积为 .
【答案】
变式 （2019·新课标Ⅰ卷）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、
，过 的直线与 C的两条渐近线分别交于 A、B两点，若 ， ，则 C
的离心率为_______.
【解析】解法 1：如图，可设 ， ， ，则 ，
，所以 ，
解得： 或 （舍去），从而 ，由 知 A为 中点，所以
，代入 得： ，整理得： ，即双曲线 C的离心率
.
解法 2：如图，由 知 ，又 O为 中点，所以 ，
由 知 A为 中点，所以 ，
又 ，所以
从而双曲线 C的一条渐近线的斜率 ，即 ，
所以 ，从而 ，故 .
解法 3：如图，由 知 ，
所以点 B是以 为直径的圆与渐近线在第一象限的交点，
由本节的结论 2知 ，又 ，
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