《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第5节 圆锥曲线焦半径比例公式-解析版

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第5节 圆锥曲线焦半径比例公式
知识与方法
1．设过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点 F的直线与该圆锥曲线交于 A、B
两点，记 ，若 ，其中 ，则 ，其中 e为圆锥曲线的
离心率.
速记口诀：“一口干”，“一口”是 的谐音，“干”是等号右侧的上“－”下
“＋”.
2．对于焦点在 x轴上的圆锥曲线 C，若过其焦点 F且斜率为 k的直线交 C于A、B两
点，且 ，其中 ，则该圆锥曲线的离心率
典型例题
【例 1】已知椭圆 ，过右焦点 F且斜率为 的直线 l交椭圆 C于A、B两点，
若 ，则 _______.
【解析】解法 1：易求得 ， ， ，如图，设 ，则 ，所
以 ，故 ，
，从而 .
解法 2：由题意，椭圆的离心率为 ，
如图，设 ，则 ，所以 ，
设 ，由焦半径比例公式， ，
解得： 或 ，因为 ，所以 .
【答案】3
变式 1（2010·全国Ⅱ卷）已知椭圆 的离心率为 ，过其右焦点 F
且斜率为 的直线 l交椭圆 C于A、B两点，若 ，则 k的值为（ ）
A.1 B. C. D.2
【解析】解法 1：椭圆 C的离心率为 ， ，
所以 ，直线 l的方程为 ，
联立 消去 x整理得：
设 ， ，则由韦达定理， ，
又 ， 所 以 ,， 代 入 上 面 韦 达 定 理 的 两 个 式 子 可 得 ，
，消去 可得：
解得： ，又 ，所以
解法 2：由公式 可得 ，
解得： ，又 ，所以
【答案】B
变式 2 过椭圆 的右焦点 F且斜率为 的直线 l与椭圆 C交于
A、B两点，若 ，则椭圆 C的离心率为_______.
【解析】由公式 可得 .
【答案】
【反思】上面的几道题总结起来就是椭圆的离心率 e、焦半径长度比值 以及 这三个量
的知二求一.
【例 2】已知双曲线 ，过其左焦点 F且斜率为 的直线 l交双曲线 C于A、B
两点，若 ，则 _______.
【解析】如图，设 ， ，
则 ，所以 ，
由公式 可得 ，
解得： 或 ，又 ，所以 .
【答案】5
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