《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》7.7 空间几何外接球（提升）（解析版）
7.7 空间几何外接球（提升）
一、单选题
1．（2021·嘉峪关市第一中学高三开学考试（理））已知三棱柱 的 个顶点全部在球 的表
面上， ， ，三棱柱 的侧面积为 ，则球 表面积的最小值是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设三棱柱 的高为 ， .
因为 ，
所以 ，
则该三棱柱的侧面积为 ，故 .
设 的外接圆半径为 ，则 .
设球 的半径为 ，则 （当且仅当 时，等号成立），
故球 的表面积为 .
故选：B
2．（2021·山西祁县中学（文））已知三棱锥 的外接球为球 ， 是边长为 的正三角
形，若三棱锥 体积的最大值为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设三棱锥 的高为 ，当球心 在三棱锥 的高线上时，三棱锥 的体积最
大，此时 ，解得 ．设球 的半径为 ，
如图， 是正三棱锥的高， ， ，
则 ，解得 ，所以球 的体积为 ．
故选：A．
3．（2021·山西祁县中学高三月考（理））在矩形
ABCD
中，
BC
＝4，
M
为
BC
的中点，将△
ABM
和△
DCM
分
别沿
AM
，
DM
翻折，使点
B
与点
C
重合于点
P
，若∠
APD
＝150°，则三棱锥
M
－
PAD
的外接球的表面积为（
）
A．12π B．34π C．68π D．126π
【答案】C
【解析】由题意可知，
MP
⊥
PA
，
MP
⊥
PD
.
且
PA
∩
PD
＝
P
，
PA
⊂平面
PAD
，
PD
⊂平面
PAD
，所以
MP
⊥平面
PAD
.
设△
ADP
的外接圆的半径为
r
，则由正弦定理可得 ＝2
r
，
即 ＝2
r
，所以
r
＝4.
设三棱锥
M
－
PAD
的外接球的半径为
R
，则 ，
即 ，所以 ，
所以外接球的表面积为 .
故选：C.
4．（2021·江西高三月考（文））如图，三棱台
ABC
－
A
1
B
1
C
1中，
AB
⊥
AC
，
BC
＝6，
A
1
B
1＝
A
1
C
1＝4 ，
AA
1
＝5 ，平面
BCC
1
B
1⊥平面
ABC
，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 的中点分别为 ，连接 ，如下图所示：
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