《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)

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专题 06 构造法求数列通项的八种技巧(三)
【必备知识点】
◆构造六:取对数构造法
型如 , 或者 为常数.
针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取 为底,什
么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.
【经典例题 1】数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【解析】
取以 为底的对数(不能取 为底,因为 ,不能作为对数的底数),得到 ,
,设 ,则有 ,所以 是以 为首项,2 为公比的等比数列,
所以 ,所以 , .
【经典例题 2】数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【解析】
取以 为底的对数(这里知道为什么不能取 为底数的对数了吧),得到 ,
, 设 ,则有 ,这又回归到构造二的情况,接
下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出 ,所以 是以
为首项,2 为公比的等比数列,所以 ,所以 , , .
【经典例题 3】已知 ,点 在函数 的图像上,其中 ,求数列 的通项
公式.
【解析】
将 代入函数得 , ,即
两边同时取以 3 为底的对数,得 (为什么此题取以 3 为底的对数
呢,大家思考下,新构造的数列首项为 , ,所以应当取以 3 为底,这样计算会简单很多,当然如
果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,即
, , .
【经典例题 4】在数列 中, ,当 时,有 ,求数列 的通项公式.
【解析】
由 ,得 ,即 ,两边同取以 3 为底的对数,得
,即 ,所以数列 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,
, ,即 .
◆构造七:二阶整体构造等比
简单的二阶整体等比:关于 的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为
,利用 成等比数列,以及叠加法求出 .还有一小部分题型可转化
为 ,利用 成等比数列求出 .
【经典例题 1】已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
【解析】
由 ,故 是以 为首项,2 为公比的等比数
列,即 ,接下来就是叠加法啦, 全部相加得: ,
所以 .
【经典例题 2】已知数列 中, , , ,求数列 的通项公式。
【解析】
由 ,故 是以 为首项, 为公比的
等比数列,即 ,接下来就是叠加法啦, 全部相加,利用
等比数列求和得: , .
【经典例题 3】数列 中, , , ,求数列 的通项公式。
【解析】
由 ,故 是以 为首项, 为公比的等
比数列,即 ,接下来就是叠加法, 全部相加,利用等比数列求和得:
, .
此方法可以解决大多数的 , 模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造
成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数
列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接
下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.
【经典例题 4】已知数列 满足 , , ,求数列 的通项公式.
【解析】
看到这道例题,当我们希望通过构造 为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.
所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造 成等比来解决.设原等式
,打开得到 ,对应项系数相等, 解得
,所以构造 为首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 ,即 ,这
就回到了熟悉的 型.下面的操作就看你们的了.
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