专题09 隐圆问题（2）（原卷版）-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升

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专题 09 隐圆问题（2）

【问题导入】

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点 P

就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称

即可．

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如 P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——隐圆问题．

以下是几种常见的隐圆模型，我们将从以下 7 种模型对“隐圆问题”进行详细讲解

【题型五：四点共圆型】

【模型】1.对角互补型：若∠A+ C=180º∠或∠B+ D=180º,∠则A、B、C、D四点共圆.

2.同侧等角型：若∠A= C,∠则A、B、C、D四点共圆.

隐圆模型

定点定长型

直角对直径

定边对定角

定角夹定高

四点共圆

瓜豆原理

米勒定理

【例 1】如图,等边△ABC 中,AB=6,P 为 AB 上一动点,PD⊥BC,PE⊥AC,求 DE 的最小值.

【练 1】如图，在△ABC 中，∠B＝75° ，∠C＝45°，BC＝6 2﹣，点 P是BC 上一动点，PE⊥AB 于

E，PD⊥AC 于D．无论 P的位置如何变化，线段 DE 的最小值为　　．

【题型六：瓜豆原理】

【模型】为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”．

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

PAQ= OAM∠ ∠ ；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

【例】如图，点 P(3，4)，圆 P半径为 2，A(2.8，0)，B(5.6，0)，点 M是圆 P上的动点，点 C是MB 的中点，

则AC 的最小值是_______．

【练 1】如图，正方形 ABCD 中，，O是BC 边的中点，点 E是正方形内一动点，OE＝

2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D逆时针旋转 90°得DF，连接 AE、CF．求线段 OF 长的最小值．

【练 2】△ABC 中，AB＝4，AC＝2，以 BC 为边在△ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则

线段 AO 的最大值为_____________．

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