专题08 隐圆问题（1）-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升（解析版）

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专题 08 隐圆问题（1）

【问题导入】

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点 P

就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称

即可．

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如 P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——隐圆问题．

以下是几种常见的隐圆模型，我们将从以下 7 种模型对“隐圆问题”进行详细讲解

【题型一：定点定长型】

【例 1——到定点距离相等的点】如图,菱形 ABCD 中, BAD=120º,∠对角线 BD=

4❑

√

,BD 与AC 交于点 O,P 是同

一平面的内一个动点,PC=4,若点 P到直线 BD 的距离为 2,则∠BPC 的度数为______________

【答案】15º,60º 或75º

【解析】解：∵PC=4，C是定点，

P∴的运动轨迹是一个圆

∵四边形 ABCD 是菱形，BD=

4❑

√

，∠BAD=120º

BC=CD=AB=AD=AC=4∴

P∴的轨迹如图所示

隐圆模型

定点定长型

直角对直径

定边对定角

定角夹定高

四点共圆

瓜豆原理

米勒定理

∵点P到直线 BD 的距离为 2

又AO=CO=2

所以 P的所有情况为：

BP∴∠ 1C=60°，∠BP2C=15°，∠BP3C=75°

综上，∠BPC 的度数为：15º,60º 或75º

【练 1】在矩形 ABCD 中,已知 AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边(即两个端点始

终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒 EF 的中点 P在运动过程中所围成的图形的面积为

_____cm2.

【答案】6π

【解析】解：因为 FE=2，P为EF 的中点，木棒 EF 紧贴着矩形的边滑动

∴在EF 的移动过长中，P到四个定点的距离都是 1

P∴点的运动路径如下图所示

∴围城图形的面积为：S=2×3-π×12=6π

【例 2——圆上的点到定点的距离】

点P为平面内的一点，已知点 P到⊙O的最短距离是 5cm，最长距离是 9 cm，求⊙O的直径为_______ cm

【答案】4或14 cm

【解析】解：①如图所示，当点 P在圆内时，PA 为最短距离，PB 为最长距离，此时直径 AB=PA+PB=14 cm

②点P在圆外时，PA 为最短距离，PB 为最长距离，此时直径 AB=PB-PA=4 cm

综上，圆的直径为 4或14 cm

【练】如图，已知圆 C的半径为 3，圆外一定点 O满足 OC=5，点 P为圆 C上一动点，经过点 O

的直线 l上有两点 A、B，且 OA=OB，∠APB=90°，l不经过点 C，则 AB 的最小值为________。

【答案】4

【解析】解：∵OA=OB，∠APB=90°

PO=∴

2AB

∴当OP 最短时，AB 有最小值

连接 CO，此时 CO 有最小值，此时 OP 也最小

OC=5∵，∴OP=5-3=2

AB=4∴

AB∴的最小值为 4

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