专题07 线段最值问题（2）—胡不归问题和阿氏圆问题-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升(解析版）

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专题 07 线段最值问题（2）——胡不归问题和阿氏圆问题
【问题引入】
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如 PA+PB 最值，除此之外我们还可能
会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归
问题；（2）阿氏圆．
【题型一——胡不归问题】
【模型介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点
之间线段最短”，虽然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，
当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之
际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
【模型建立】
【问题】点 A 为直线 l 上一定点，点 B 为直线外一定点，P 为直线 l 上一动点，要使
❑
√
2
2
AP
＋BP 最小．
【作法】过点 A 作∠NAP＝45°，过点 P 作 PE⊥AN，在直角三角形中将
❑
√
2
2
AP 转化为
PE，使得
❑
√
2
2
AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利
用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度．
【解题关键】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将“PA+kPB”
型问题转化为“PA+PC”型．
注意：而这里的 PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到 kPB 的等
线段．
【典型例题】
【例 1】如图，△
ABC
中，
AB
=
AC
=10，tan
A
=2，
BE
⊥
AC
于点
E
，
D
是线段
BE
上的一个动点，
那么：
（1）AE=_______．
（2）
CD +❑
√
5
5
BD
的最小值是_______．
A
B
C
E
【答案】（1）
2❑
√
5
（2）
4❑
√
5
【解析】解：（1）∵tanA=2，BE⊥AC
∴
BE
AE =2
∴设 AE=x，BE=2x
∴
x2+
(
2x
)
2=102
∴
x=2❑
√
5
（2）如图，作 DF⊥AB 于点 F，CH⊥AB 于点 H
∵AE=
2❑
√
5
，AB=10
∴
AE
AB =2❑
√
5
10 =❑
√
5
5
∴
sin ∠ABD=DF
BD =❑
√
5
5
∴DF=
❑
√
5
5
BD
∴
CD +❑
√
5
5
BD=CD +DF
∵当 C、D、F 三点共线时，
CD +DF
最小，即为 CH
∵AB=AC
∴CH=BE
由（1）知，BE=2AE=
4❑
√
5
∴
CD +❑
√
5
5
BD
的最小值时
4❑
√
5
【练 1】如图，△ABC 中，AB＝AC＝20，tanA=3，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，
则 CD+
❑
√
10
10
BD
的最小值是
【答案】
6❑
√
10
【解析】解：如图，作 DF⊥AB 于点 F，CH⊥AB 于点 H
∵tanA=3，BE⊥AC，AB=AC=20
∴
BE
AE =3
∴设 AE=x，BE=3x
∴
x2+
(
3x
)
2=202
∴
x=2❑
√
10
∴
sin ∠ABD=DF
BD =❑
√
10
10
∴DF=
❑
√
10
10
BD
∴
CD +❑
√
10
10
BD=CD+DF
∵当 C、D、F 三点共线时，
CD +DF
最小，即为 CH
∵AB=AC
∴CH=BE
由（1）知，BE=3AE=
6❑
√
10
∴
CD +❑
√
5
5
BD
的最小值时
6❑
√
10
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