专题04 数轴动点问题中的新定义问题（解析版）-2021-2022学年七年级数学上学期巧用五个工具解答四类数轴动点问题（人教版）

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专题 04 数轴动点问题中的新定义问题

例1．（2021·山东沂南期末）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足

3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点 A表示数﹣4，点 B表示数 8，M为数轴一个

动点．若点 M在线段 AB 上，且点 M是点 A、点 B的“关键点”，则此时点 M表示的数是________．

【答案】5或﹣1.

【解析】解：设点 M表示的数是 x ，

∴MA＝x﹣（﹣4）＝x+4；BM＝8﹣x，

∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”，

∴MA＝3BM 或BM＝3MA，

∴x+4＝3（8﹣x）或 8﹣x＝3（x+4），

解得：x＝5或x＝﹣1．

故答案为：5或﹣1．

例2．（2021·北京期中）在同一直线上的三点 A、B、C，若满足点 C到另两个点 A、B的距离之比是 2，

则称点 C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点 C在线段 AB 上时，若，则称点 C是[A，B]

的亮点；若点 C在线段 AB 延长线上，，则称点 C是的暗点，例如，如图 1，在数轴上

分别表示数，-1，2，1，0，则的点 C是的亮点，又是的暗点；点 D是的亮

点，又是的暗点．

（1）如图 2，M、N为数轴上的两点，点 M表示的数为－2，点 N表示的数为 4，则的亮点表示的

数是，的暗点表示的数是；

（2）如图 3，数轴上的点 A所表示的数为点所表示的数为－20，点 B表示的数为 40，一只电子蚂蚁 P从点

B出发以每秒 2个单位的速度向左运动，设运动时间为 t秒．

①求当 t为何值时，P是的暗点；

②求当 t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．

【答案】（1）2，-8；（2）① t=60；②当点 P为亮点时，t=10；当点 P为亮点时，t=20；当点

A为亮点时，t=90；当点 A为亮点时，t=45.

【解析】解：（1）根据题意，的亮点表示的数在线段 MN 上，

设亮点表示的数为 x，

则x+2=2（4-x），

解得：x=2

∴的亮点表示的数是：2；

根据题意，的暗点表示的数在线段 NM 延长线上，

设暗点为 y，

则4-y=2（-2-y）

解得，y=-8

故答案为：2，-8；

（2）①根据题意，点 P是的暗点，即点 P在线段 BA 的延长线上

∴PB=2t，PA=2t-60

∵PB=2PA

2∴t=2(2t-60)

解得：t=60；

②当点 P为亮点时，即 P在线段 AB 上

∴PB=2t，PA=60-2t

60-2∴t=2×2t

∴t=10

当点 P为亮点时，即 P在线段 AB 上

2∴（60-2t）=2t

∴t=20；

当点 A为亮点时，即 A在线段 PB 上

同理，2t-60=2×60

∴t=90

当点 A为亮点时，即 A在线段 BP 上

2（2t-60）=60

∴t=45

B点不可能在线段 AP 上，故 B不可能是[A,P]、[P,A]的亮点

综上所述，当点 P为亮点时，t=10；当点 P为亮点时，t=20；当点 A为亮点时，t=90；当

点A为亮点时，t=45．

例3．（2021·北京市期中）对于数轴上的两点 P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点 О的距离之差的绝对

值称为 P，Q两点的“绝对距离”，记为．

例如，P，Q两点表示的数如图（1）所示，则．

（1）A，B两点表示的数如图（2）所示．

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