《2023届浙江省高三物理高考复习101微专题模型精讲精练》第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度（解析版）

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第23 讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度
1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应
用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知
引力常量 G＝6.67×10 11﹣N•m2/kg2，地面上的重力加速度 g＝9.8m/s2，地球半径 R＝6.4×106m，则
地球质量约为（　　）
A．6×1018kg B．6×1020 kg C．6×1022 kg D．6×1024 kg
【解答】解：根据公式
GMm
R2=mg
可得
M=g R2
G=9.8 ׿¿
kg＝6×1024kg，故 ABC 错误，D正
确。
故选：D。
2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星 S2 进行了多年的持续观测，给出 1994 年到 2002
年间 S2 的位置如图所示。科学家认为 S2 的运动轨迹是半长轴约为 1000AU （太阳到地球的距离
为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了 2020 年诺贝尔物理
学奖。若认为 S2 所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为 M，可以推测出该
黑洞质量约为（　　）
A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M
【解答】解：设地球的质量为 m，地球到太阳的距离为 r＝1AU，地球的公转周期为 T＝1年；
由万有引力提供向心力可得：
GMm
r2=¿
mr
4π2
T2
，
解得：M
¿4π2r3
GT 2
；
对于 S2 受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴 R＝1000AU，
根据图中数据结合图象可以得到 S2 运动的半周期
T '
2=¿
（2002 1994﹣）年＝8年，则周期为 T′
＝16 年，
根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出：M黑
¿4π2R3
¿'2
，其中 R为S2的轨迹半长轴，
因此有：M黑
，代入数据解得：M黑≈4×106M，故 B正确，ACD 错误。
故选：B。
一.知识回顾
1．万有引力定律
F＝G，式中 G为引力常量，在数值上等于两个质量都是 1 kg 的质点相距 1 m 时的相互吸引力。
引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。
测定 G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定
律有了真正的实用价值。
（1）．万有引力的特点
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物
体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相
等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量
巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
（2）应用万有引力定律的注意事项
在以下三种情况下可以直接使用公式 F＝G计算：
① 求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式
中的 r表示两质点间的距离。
② 求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的 r为两个球心间的距离。
③ 一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r指质点到球心的距离。
(3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据 F
＝G得出 r→0 时F→∞的结论，违背公式的物理含义。
(4)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
2．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力 F表现为两个效果：
一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心力 F向．
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重
力和引力不等，但在一条直线上。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力 G等于重力 mg 与向心力 F向的 矢
量和．
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需 的
向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
（3）重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响 很
小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G。若距离地面的 高
度为 h，则 mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面 h高度处的 重
力加速度)，可得 g′＝＝g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
.所以＝.
3.天体质量、密度的计算
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的
计算
　
利用运行天体
r、T G＝mr M＝
只能得到
中心天体
的质量
r、v G＝m M＝
v、T
G＝m
G＝mr
M＝
利用天体表面
重力加速度 g、R mg＝M＝
密度的
计算
利用运行天体 r、T、R
G＝mr
M＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R时ρ＝
利用近地
卫星只需
测出其运
行周期
利用天体表面
重力加速度 g、R
mg＝
M＝ρ·πR3ρ＝
4. 估算天体质量、密度时的注意事项与易错点：
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并
非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径 R和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密
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