《2023届浙江省高三物理高考复习101微专题模型精讲精练》第48讲 非点电荷电场强度的叠加及计算的五种方法（解析版）

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第 48 讲 非点电荷电场强度的叠加及计算的五种方法
1．（安徽）如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满 z＜0的空间，z＞0的空间为真
空。将电荷为+q 的点电荷置于 z轴上 z＝h处，则在 xOy 平面上会产生感应电荷。空间任意一点
处的电场皆是由点电荷 q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处
处为零，则在 z轴上 z
¿ℎ
3
处的场强大小为（k为静电力常量）（　　）
A．k
4q
ℎ2
B．k
45 q
16 ℎ2
C．k
32q
9ℎ2
D．k
40 q
9ℎ2
【解答】解：在 z轴上
−ℎ
3
处，合场强为零，该点场强为 q和导体近端感应电荷产生电场的场强
的矢量和；q在
−ℎ
3
处产生的场强为：
E1＝k
；
由于导体远端离
−ℎ
3
处很远，影响可以忽略不计，故导体在
−ℎ
3
处产生场强近似等于近端在
−ℎ
3
处产生的场强；
−ℎ
3
处合场强为 0，故导体在
−ℎ
3
处产生场强大小 E2＝E1
¿9kq
16 ℎ2
，方向向上。
根据对称性，导体近端在
ℎ
3
处产生的场强也为 E2
¿9kq
16 ℎ2
，方向向下。
电荷 q在
ℎ
3
处产生的场强为：E3＝k
q
¿¿
，方向向下。
故在
ℎ
3
处的合场强为：E＝E2+E3
¿9kq
16 ℎ2+9kq
4ℎ2=k45 q
16 ℎ2
，方向向下。
故选：B。
2．（新课标Ⅰ）如图，一半径为 R的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆
心c的轴线上有 a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为 R，在 a点处有一电荷量为
q（q＞0）的固定点电荷。已知 b点处的场强为零，则 d点处场强的大小为（k为静电力常量）
（　　）
A．
k3q
R2
B．
k10 q
9R2
C．
kQ+q
R2
D．
k9Q+q
9R2
【解答】解：电荷量为 q的点电荷在 b处产生电场强度为
E=kq
R2
，
而半径为 R均匀分布着电荷量为 Q的圆盘上电荷，与在 a点处有一电荷量为 q（q＞0）的固定点
电荷，在 b点处的场强为零，
则圆盘在此处产生电场强度也为
E=kq
R2
．那么圆盘在此 d产生电场强度则仍为
E=kq
R2
。
而电荷量为 q的点电荷在 d处产生电场强度为
E '=kq
¿¿
，由于都在 d处产生电场强度方向相同，
即为两者大小相加。
所以两者这 d处产生电场强度为
k10 q
9R2
，故 B正确，ACD 错误。
故选：B。
一．知识回顾
1.电场强度的叠加
如果场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度
的矢量和，遵从平行四边形定则。
如果场源是一个带电的面、线、体，则可根据微积分求矢量和。但在高中阶段，在不能熟练运
用微积分的情况下，还有以下五种方法。
2．方法概述
求电场强度有三个公式：
E
＝、
E
＝
k
、
E
＝，在一般情况下可由上述公式计算电场强度，但在求
解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的电场强度时，上述公式无法直接应用。这时，如果
转换思维角度，灵活运用补偿法、微元法、对称法、等效法、极限法等巧妙方法，可以化难为易。
二.例题精析
方法一：填补法
将有缺口的带电圆环(或半球面、有空腔的球等)补全为圆环(或球面、球体等)分析，再减去补
偿的部分产生的影响。当所给带电体不是一个完整的规则物体时，将该带电体割去或增加一部分，
组成一个规则的整体，从而求出规则物体的电场强度，再通过电场强度的叠加求出待求不规则物体
的电场强度。应用此法的关键是“割”“补”后的带电体应当是我们熟悉的某一物理模型。
例1．（2020 秋•怀化月考）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量
相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为 R的球体上均匀分布着电荷量为 Q的电荷，
在过球心 O的直线上有 A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为 R，现以 OB 为直径在球内
挖一球形空腔，若静电力常量为 k，球的体积公式为 V
¿4
3π r3
，在挖掉球体部分前后，A点处场
强的大小之比为（　　）
A．
9
7
B．
9
5
C．
8
7
D．
4
3
【解答】解：由题意可知，由题意知，半径为 R的均匀带电体在 A点产生场强为：E整
¿kQ
¿¿
同理割出的小球半径为
R
2
，因为电荷平均分布，其带电荷量：Q′
¿4
3π¿¿
则其在 A点产生的场强：E割
¿kQ '
¿¿
所以剩余空腔部分电荷在 A点产生的场强：EA＝E整﹣E割
¿kQ
4R2−kQ
18 R2=7kQ
36 R2
所以
E整
E割
=
kQ
4R2
7kQ
36 R2
=9
7
，故 A正确，BCD 错误；
故选：A。
　方法二：对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简
化。形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够
求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。
例如：如图所示，均匀带电的球壳在
O
点产生的场强，等效为弧
BC
产生的场强，弧
BC
产生的
场强方向，又等效为弧的中点
M
在
O
点产生的场强方向．
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