《2023届浙江省高三物理高考复习101微专题模型精讲精练》第22讲 开普勒三大定律应用（解析版）

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第 22 讲 开普勒三大定律应用
1．（新课标）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的
16 倍；另一地球卫星 Q的轨道半径约为地球半径的 4倍。P与Q的周期之比约为（　　）
A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．16：1
【解答】解：根据题意可得 P与Q的轨道半径之比为：
rP：rQ＝4：1
根据开普勒第三定律有：
r3
T2=¿
k
得：
rP
3
TP
2=rQ
3
TQ
2
可得周期之比为：
TP：TQ＝8：1
故C正确，ABD 错误。
故选：C。
一.知识回顾
1.开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道
都是椭圆，太阳处在椭圆的
一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与
太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的
三次方跟它的公转周期的二
次方的比值都相等
＝k，k是一个与行星
无关的常量
2. 开普勒三定律的理解与应用
（1）微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若
行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为 a、b，取足够短的时间 Δt，则行星在 Δt时间内的运动
可看作匀速直线运动，由 Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得 va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速
率越小，反之越大。
（2）行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。半径等于半长轴。
（3）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
（4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k值不同，故该
定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
二.例题精析
例1．地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的公转轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示．天文学家
哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是 1986 年，预测下次飞近地球将在
2061 年左右．若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为 r1，远日点与太阳中心的距离为 r2．下
列说法正确的是（　　）
A．哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的
√
7 53
倍
B．哈雷彗星在近日点的速度一定大于地球的公转速度
C．哈雷彗星在近日点和远日点的速度之比为
√
r2：
√
r1
D．相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积和地球与太阳连线扫过的面积相等
【解答】解：A、地球公转周期 T＝1年，根据题意可知哈雷彗星的周期为 T′＝75 年，根据开普
勒第三定律有，
a3
T'2=R3
T2
，解得
a
R=3
√
7 52
，故 A错误；
B、哈雷彗星的轨道在近日点的曲率半径比地球的公转轨道半径小，根据万有引力定律提供向心
力G
Mm
R2=m v2
r
，得 v
，可知哈雷彗星在近日点的速度一定大于地球的公转速度，故 B
正确；
CD、根据开普勒第二定律，相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积相等，但并不与地球
与太阳连线扫过的面积相等设哈雷彗星在近日点和远日点的速度分别是 v1、v2，取时间微元
Δt，结合扇形面积公式 S
¿1
2⋅
^
AB ⋅r
，可知
1
2v1Δt ⋅r1=1
2v2Δt ⋅r2
，解得
v1
v2
=r2
r1
，故 CD 错误；
故选：B。
例2．根据开普勒定律可知，火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，如图所示，
下列说法正确的是（　　）
A．火星运动到近日点时的线速度最小
B．火星运动到远日点时的加速度最小
C．太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
D．太阳对火星的万有引力大于火星对太阳的万有引力
【解答】解：A、火星从远日点到近日点，万有引力做正功，则速度增加，则运动到近日点时的
线速度最大，故 A错误；
B、火星运动到远日点时，受太阳的引力最小，则加速度最小，故 B正确；
C、太阳对火星的万有引力大小随距离的变化而不断变化，故 C错误；
D、太阳对火星的万有引力与火星对太阳的万有引力是一对相互作用力，总是等大反向，故 D错
误。
故选：B。
例3．“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜（ FAST）。通过 FAST 测量水星与
太阳的视角 θ（水星 B、太阳 S分别与地球 A的连线所夹的角），如图所示。若视角的正弦值最
大为 a，地球和水星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则水星与地球的公转周期的比值为（
）
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